新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第28讲 平面向量的概念与线性运算（原卷版）.doc

第28讲平面向量的概念与线性运算

【基础知识网络图】

平面向量

平面向量

平面向量的概念

平面向量的坐标表示

平面向量的基本定理

平面向量的线性运算

【基础知识全通关】

向量的概念

1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段SKIPIF10表示，其中A为起点，B为终点.

向量SKIPIF10的长度SKIPIF10又称为向量的模；

长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.

2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.

平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.

3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.

4.与SKIPIF10长度相等，方向相反的向量叫做SKIPIF10的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.

【微点拨】①有向线段的起、终点决定向量的方向，SKIPIF10与SKIPIF10表示不同方向的向量；

②有向线段的长度决定向量的大小，用SKIPIF10表示，SKIPIF10.

③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.

二、向量的加法、减法

1．向量加法的平行四边形法则

平行四边形ABCD中（如图），

向量SKIPIF10与SKIPIF10的和为SKIPIF10,记作:SKIPIF10.（起点相同）

2．向量加法的三角形法则

根据向量相等的定义有:SKIPIF10，即在ΔSKIPIF10中，SKIPIF10.

首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.

规定:零向量与向量SKIPIF10的和等于SKIPIF10.

3.向量的减法

向量SKIPIF10与向量SKIPIF10叫做相反向量.记作:SKIPIF10.

则SKIPIF10.

【微点拨】

①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.

②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.

三、实数与向量的积

1．定义：

一般地，实数SKIPIF10与向量SKIPIF10的积是一个向量,记作SKIPIF10，它的长与方向规定如下：

（1）SKIPIF10；

（2）当SKIPIF100时，SKIPIF10的方向与SKIPIF10的方向相同；当SKIPIF100时，SKIPIF10的方向与SKIPIF10的方向相反；当SKIPIF10=0时，SKIPIF10；

2．运算律

设SKIPIF10，SKIPIF10为实数，则

（1）SKIPIF10；

（2）SKIPIF10；

（3）SKIPIF10

3．向量共线的充要条件

已知向量SKIPIF10、SKIPIF10是两个非零共线向量，即SKIPIF10，则SKIPIF10与SKIPIF10的方向相同或相反.

向量SKIPIF10与SKIPIF10共线，当且仅当有唯一一个实数SKIPIF10，使SKIPIF10.

【微点拨】

①向量数乘的特殊情况：当SKIPIF10时，SKIPIF10；当SKIPIF10时，也有SKIPIF10；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.

②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量.

四、平面向量的坐标运算

1．平面向量的坐标表示

选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量SKIPIF10，SKIPIF