专题02 几何最值之费马点模型（解析版）.pdfVIP

专题02几何最值之费马点模型

ABCPPAPBPC.

费马点模型：如图，在△内部找到一点，使得＋＋的值最小

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值

证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

例1．（2022·四川·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC

于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．

【答案】

3+3

【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，

∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，

∴△BQN是等边三角形，

∴BQ=QN，

∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，

∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，

此时，如图2，连接MC

∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，

∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，

∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，

∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，

∵BM=CM，AB=AC，

∴AM垂直平分BC，

∵AD⊥BC，∠BQD=60°，

∴BD=3QD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，

∴x=tan60°´x-2=3x-2

，

∴x=3+3，

∴PD=3+3．

故答案为：3+3．

22021··VABCÐCAB=90°，AB=AC=1PVABC

例．（四川成都实外九年级阶段练习）如图，在中，，是内

PA+PB+PC

______

一点，求的最小值为．

6+2

【答案】

2

△APCC60°△DFCPFADDBDDE⊥BABA

【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接、、，过点作，交的

E

延长线于点；

===60°==

APDFPCFACDPCFCACCD

∴，∠∠，，，

∴△PCF、△ACD是等边三角形，

===1=60°

∴PCPFADAC∠DAC

，，

∴PA+PB+PC=FD+BP+PF，

∴BP