2024年高考全国甲卷数学(理)真题（解析版）.docx

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2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷理科数学

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若，则（）

A. B. C.10 D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由，则.

故选：A

2.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为，所以，

则，

故选：D

3.若满足约束条件，则最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.

【详解】实数满足，作出可行域如图：

由可得，

即的几何意义为的截距的，

则该直线截距取最大值时，有最小值，

此时直线过点，

联立，解得，即，

则.

故选：D.

4.记为等差数列的前项和，已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.

【详解】由，则，

则等差数列的公差，故.

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4 B.3 C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.

【详解】由题意，设、、，

则，，，

则，则.

故选：C.

6.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.

【详解】，

则，

即该切线方程为，即，

令，则，令，则，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选：A.

7.函数在区间的图象大致为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.

【详解】，

又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，

又，

故可排除D.

故选：B.

8.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为，

所以，，

所以，

故选：B.

9.设向量，则（）

A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件

C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

详解】对A，当时，则，

所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；

对C，当时，，故，

所以，即充分性成立，故C正确；

对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；

对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：

①若，则或②若，则或

③若且，则④若与,所成的角相等，则

其中所有真命题的编号是（）

A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当，因为，，则，

当，因为，，则，

当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；

对②，若，则与不一定垂直，故②错误；

对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，

因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，

同理可得，则，因为平面，平面，则平面，

因为平面，，则，又因为，则，故③正确；

对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

11.在中,内角所对的边分别为，若，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.

【详解】因为，则由正弦定理得.

由余弦定