软件工程-基础课程-算法_动态规划：背包问题、最长公共子序列、编辑距离.docx

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算法基础

1动态规划简介

动态规划（DynamicProgramming，简称DP）是一种在计算机科学和数学中用于解决最优化问题的算法策略。它通过将问题分解为更小的、重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而达到高效求解的目的。动态规划的核心在于“状态”和“状态转移”，通过定义问题的状态，以及状态之间的转移关系，可以有效地解决许多复杂问题。

1.1动态规划的适用场景

动态规划适用于具有以下两个特征的问题：

最优子结构：问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。

重叠子问题：在问题的求解过程中，相同的子问题会被多次求解。

1.2动态规划的步骤

定义状态：确定问题的各个状态，状态应能描述问题的全部信息。

状态转移方程：找出状态之间的关系，即如何从一个状态转移到另一个状态。

初始化状态：确定状态的初始值，即边界条件。

确定求解顺序：根据状态转移方程，确定求解状态的顺序。

计算并存储结果：通过状态转移方程计算状态值，并存储以供后续使用。

2状态转移方程理解

状态转移方程是动态规划中最为关键的部分，它描述了如何从已知状态计算出未知状态。状态转移方程的建立需要对问题有深入的理解，通常需要通过分析问题的递归性质来得出。

2.1示例：背包问题

背包问题是一个经典的动态规划问题。假设我们有一个背包，其最大承重为W，我们有一系列物品，每个物品有其重量和价值。我们的目标是选择物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的最大承重。

2.1.1状态定义

设dp[i][j]表示在前i个物品中选择，背包承重为j时的最大价值。

2.1.2状态转移方程

对于第i个物品，我们有两种选择：装入背包或不装入背包。如果装入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]，其中weight[i]和value[i]分别是第i个物品的重量和价值；如果不装入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]。因此，状态转移方程为：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])ifj=weight[i]elsedp[i-1][j]

2.1.3Python代码示例

defknapsack(W,weights,values,n):

dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]

foriinrange(1,n+1):

forjinrange(1,W+1):

ifj=weights[i-1]:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])

else:

dp[i][j]=dp[i-1][j]

returndp[n][W]

#数据样例

W=50

weights=[10,20,30]

values=[60,100,120]

n=len(weights)

#调用函数

print(knapsack(W,weights,values,n))#输出：220

2.2示例：最长公共子序列

最长公共子序列（LongestCommonSubsequence，简称LCS）问题是在两个序列中找到最长的公共子序列。子序列是指在原序列中删除某些元素后（不改变剩余元素的相对顺序）得到的序列。

2.2.1状态定义

设dp[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。

2.2.2状态转移方程

如果X[i-1]==Y[j-1]，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。

2.2.3Python代码示例

deflcs(X,Y):

m=len(X)

n=len(Y)

dp=[[0for_inrange(n+1)]for_inrange(m+1)]

foriinrange(1,m+1):

forjinrange(1,n+1):

ifX[i-1]==Y[j-1]:

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1