软件工程-基础课程-算法_数值算法：数值积分、数值微分、数值线性代数.docx

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数值积分

1基本概念与原理

数值积分是数学中用于近似计算定积分的一种方法。在实际应用中，很多函数的积分无法用初等函数表示，或者积分的计算过于复杂，这时就需要使用数值积分来求解。数值积分的基本思想是将积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上用简单的函数（如线性函数、二次函数等）近似原函数，然后计算这些简单函数在小区间上的积分，最后将所有小区间的积分结果相加得到原函数在积分区间上的积分近似值。

1.1示例：矩形法则

矩形法则是数值积分中最简单的方法之一，它将积分区间分割成等宽的小区间，在每个小区间上用原函数在区间左端点或右端点或中点的值乘以小区间的宽度来近似积分值。

假设我们需要计算函数fx=x2在区间

importnumpyasnp

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#矩形法则数值积分

defrectangle_rule(f,a,b,n):

使用矩形法则计算f(x)在[a,b]上的积分

:paramf:被积函数

:parama:积分区间的左端点

:paramb:积分区间的右端点

:paramn:将积分区间分割成n个小区间

:return:积分的近似值

h=(b-a)/n

integral=0

foriinrange(n):

integral+=f(a+i*h+h/2)*h

returnintegral

#计算积分

a=0

b=1

n=100

integral=rectangle_rule(f,a,b,n)

print(积分的近似值为：,integral)

2牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯公式是基于插值多项式的一种数值积分方法。它将积分区间分割成等宽的小区间，在每个小区间上用插值多项式近似原函数，然后计算插值多项式在小区间上的积分，最后将所有小区间的积分结果相加得到原函数在积分区间上的积分近似值。

2.1示例：辛普森法则

辛普森法则是牛顿-柯特斯公式的一种特殊情况，它将积分区间分割成偶数个小区间，在每个小区间上用二次插值多项式近似原函数，然后计算二次插值多项式在小区间上的积分，最后将所有小区间的积分结果相加得到原函数在积分区间上的积分近似值。

假设我们需要计算函数fx=x2在区间

#辛普森法则数值积分

defsimpson_rule(f,a,b,n):

使用辛普森法则计算f(x)在[a,b]上的积分

:paramf:被积函数

:parama:积分区间的左端点

:paramb:积分区间的右端点

:paramn:将积分区间分割成n个小区间

:return:积分的近似值

h=(b-a)/n

integral=f(a)+f(b)

foriinrange(1,n):

ifi%2==0:

integral+=2*f(a+i*h)

else:

integral+=4*f(a+i*h)

integral*=h/3

returnintegral

#计算积分

integral=simpson_rule(f,a,b,100)

print(积分的近似值为：,integral)

3高斯积分

高斯积分是一种基于高斯点的数值积分方法。它将积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上选取若干个高斯点，用原函数在高斯点的值乘以相应的高斯权重来近似积分值。高斯积分的精度通常比矩形法则和辛普森法则更高。

3.1示例：高斯积分

假设我们需要计算函数fx=x2在区间

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportfixed_quad

#使用高斯积分计算积分

integral=fixed_quad(f,a,b,n=10)[0]

print(积分的近似值为：,integral)

4自适应积分

自适应积分是一种动态调整积分区间的数值积分方法。它首先将积分区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上使用辛普森法则或高斯积分等方法计算积分，最后根据积分的误差动态调整积分区间的宽度，以提高积分的精度。

4.1示例：自适应积分

假设我们需要计算函数fx=x2在区间

fromscipy.i