高考解答题专项突破（一） 第1课时 利用导数解决不等式恒(能)成立问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

[考情分析]高考对本部分的考查一般有三个层次：(1)主要考查求导公式，求导法则与导数

的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；(3)综合考查，如

零点、证明不等式、恒成立问题、求参数取值范围、解决应用问题等，还可能将导数内容和

传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．

第1课时利用导数解决不等式恒(能)成立问题

考点一“分离参数法”解决不等式恒(能)成立问题

例1(2024·福建连城县第一中学高三上学期月考)已知函数f(x)＝2ax－2lnx.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)＝x－2，且∀x0，都有g(x)≤f(x)，求a的取值范围．

22ax－2

解(1)f′(x)＝2a－＝(x0)，

xx

当a≤0时，f′(x)0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

11

当a0时，当0x时，f′(x)0，当x时，f′(x)0，

aa

11

0，，＋∞

所以函数f(x)在a上单调递减，在a上单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

11

0，，＋∞

当a0时，函数f(x)在a上单调递减，在a上单调递增．

(2)g(x)≤f(x)，即2ax－2lnx≥x－2(x0)，

lnx11

即a≥－＋，

xx2

lnx11

令h(x)＝－＋(x0)，

xx2

1－lnx12－lnx

则h′(x)＝＋＝(x0)，

222

xxx

22

当0xe时，h′(x)0，当xe时，h′(x)0，

22

所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，

11

2

所以h(x)＝h(e)＝＋，

max

2

e2

11

所以a≥＋.

2

e2

1

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11

＋，＋∞

所以a的取值范围是2.

e2

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个

一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，具体步骤如下：

(1)分离参数(注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等号的方向)．

(2)转化：①若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)；

max

②若af(x)对x∈D恒成立，则只需af(x)；

min

③若∃x∈D，使得af(x)有解，则只需af(x)；