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高等数学(二)重点知识及解析(占80分左右)
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简朴函数):
(1)常值函数:(2)幂函数:(3)指数函数:(〉0,
(4)对数函数:(〉0,
(5)三角函数:,,,
(6)反三角函数:,,,
二、复合函数:要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的。
例如:是由,这两个个简朴函数复合而成.
例如:是由,和这三个简朴函数复合而成.
该部分是背面求导的关键!
三、极限的计算
1、运用函数持续性求极限(代入法):对于一般的极限式(既非未定式),只要将代入到函数体現式中,函数值既是极限值,既。
注意:(1)常数极限等于他自身,与自变量的变化趋势无关,既。
(2)该措施的使用前提是当的時候,而時则不能用此措施。
例1:,,,,
例2:
例3:(非特殊角的三角函数值不用计算出来)
2、未定式极限的运算法
(1)对于未定式:分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值既是极限值。
例1:计算.………未定式,提取公因式
解:原式=
例2:计算.………未定式,提取公因式
解:原式===
(2)对于未定式:分子、分母同步除以未知量的最高次幂,然后运用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
例1:计算………未定式,分子分母同步除以n
解:原式………无穷大倒数是无穷小
例2:计算.………未定式,分子分母同除以
解:原式==………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是2
3、运用等价无穷小的代换求极限
(1)定义:设和是同一变化过程中的两个无穷小,假如=1,称与是等价无穷小,记作~.
(2)定理:设、、、均為无穷小,又~,~,且存在
则=或
(3)常用的等价无穷小代换:当時,~,~
例1:当時,~2,~
例2:极限===………用2等价代换
例3:极限==………用等价代换
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表达符号
(1)函数在点处的导数记作:
,或
(2)函数在区间(a,b)内的导数记作:
,或
二、求导公式(必须熟记)
(1)(C為常数)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
例:1、=2、3、=
4、5、6、
三、导数的四则运算
运算公式(设U,V是有关X的函数,求解時把已知題目中的函数代入公式中的U和V既可,代入后用导数公式求解.)
(1)
(2)尤其地(為常数)
(3)
例1:已知函数,求.
解:===
例2:已知函数,求和.
解:===
因此=(注意:lne=1,ln1=0)
例3:已知函数,求.
解:===
四、复合函数的求导
1、措施一:
例如求复合函数的导数.
(1)首先判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的.
如由和这两个简朴函数复合而成
(2)用导数公式求出每个简朴函数的导数.
既=,=2
(3)每个简朴函数导数的乘积既為复合函数的导数;注意中间变量要用原变量替代回去.
∴=2=2
2、措施二(直接求导法):
复合函数的导数等于构成该复合函数的简朴函数导数的乘积。假如对导数公式熟悉,对复合函数的过程清晰,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.
例1:设函数,求.
解:==·=·=
例2:设函数,求.
解:==·=
注意:一种复合函数求几次导,取决于它由几种简朴函数复合而成。
五、高阶导数
1、二阶导数记作:,或
我們把二阶和二阶以上的导数称為高阶导数.
2、求法:(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导
(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导
例1:已知,求.
解:∵=,∴=
例2:已知,求.
解:∵==,∴=2=4
既=
六、微分的求法:
(1)求出函数的导数.
(2)再乘以既可.既.
例1:已知,求.
解:∵====
∴=
例2:设函数,求.
解:∵==
∴=
Ⅲ、二元函数的微分学
一、多元函数的定义:由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称為多元函数。其自变量的变化范围称為定义域,一般记作。
例如:二元函数一般记作:,
二、二元函数的偏导数
1、偏导数的表达措施:
(1)设二元函数,则函数在区域D内对和对的偏导数记為:
,,;,,
(2)设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记為:
,,;,,;
2、偏导数的求法
(1)对求偏导時,只要将当作是常量,将当作是变量,直接对求导既可.
(2)对求偏导時,只要将当作是常量,将当作是变量,直接对求导既可.
假如规定函数在点处的偏导数,只规定出上述偏导函数后将和代入既可.
例1:已知函数,求和.
解:=,=
例2:已知函数, 求和.
解:=,=
三、全微分
1、全微分公式:函数在点处全微分公式為:
2、全微分求法:(1)、先求出两个一阶偏导数和.(2)、然后裔入上述公式既可.
例1:设函数,求.
解:∵=,=
∴
例2:设函数,求.
解:∵=,=∴
四、二阶偏导的表达措施和求法:
(1)===…
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