4.2 指数函数(解析版).docxVIP

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4.2指数函数

知识点一指数函数的概念

【解题思路】1.判断一个函数是否为指数函数的方法

(1)底数的值是否符合要求.

(2)ax前的系数是否为1.

(3)指数是否符合要求.

2.求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式。

【例1-1】(24-25高一上·上海·随堂练习)下列函数中,指数函数是(????)

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】指数函数的概念:函数且叫做指数函数,其中指数是自变量,定义域是R.

对A,选项不满足形式;对B,符合定义;对C,系数为,不满足定义;对D,指数为,不满足定义.故选:B.

【例1-2】(23-24高一上·青海西宁·期中)函数是指数函数,则有(????)

A.或 B.

C. D.且

【答案】C

【解析】由已知得,即得.故选:C

【例1-3】.(23-24高一上·陕西西安·阶段练习)若指数函数的图象过点,则的解析式为(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设,因的图象过点,则,得,所以,

故选:C.

【变式】

1.(23-24高一上·江西新余·期中)(多选)若函数是指数函数,则实数的值为(???)

A. B. C. D.

【答案】AB

【解析】因为函数是指数函数,所以,解得或.故选:AB

2.(24-25高一上·上海·随堂练习)下列函数①;②;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧中,是幂函数的是;是指数函数的是.

【答案】幂函数②指数函数①⑤

【解析】因为指数函数为(且),故①⑤是指数函数;

由幂函数定义知,是幂函数,故②是幂函数;

由指数函数的定义知,③④⑥⑦均不是幂函数,也不是指数函数;

对于⑧,当时,,不是幂函数,也不是指数函数.

故答案为:②;①⑤.

3.(23-24高一上·上海·假期作业)在下列函数中,是指数函数的有.

①????????②????????③????????④

⑤???????????⑥????????????⑦

【答案】①⑥

【解析】指数函数:且函数定义域为,的系数为1;

①是指数函数;②的指数不是,故不是指数函数;

③指数式的系数不为1,故不是指数函数;

④的定义域不是;

⑤不是指数函数;⑥是指数函数;

⑦的底数不是常数,不是指数函数;

故答案为:①⑥

4.(24-25高一上·上海·课堂例题)若函数为指数函数,则.

【答案】

【解析】因为函数为指数函数,所以且且,解得.

故答案为:

知识点二指数型函数的定点

【例2-1】(24-25高一上·上海·随堂练习)函数(且)的图象经过一定点,则该定点坐标为.

【答案】

【解析】当,即时,,所以的图象经过定点.故答案为:

【例2-2】(23-24高二下·重庆·阶段练习)直线和函数的图象均恒过同一定点,则的最小值为(????????)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】令,解得,

由题意可知:点在直线上,

可得,即,

则,

当且仅当,即时,等号成立,

所以的最小值为.故选:B.

【变式】

1.(24-25高一上·上海·单元测试)若函数(且)经过的定点是P,则P点的坐标是.

【答案】

【解析】的图象过点,图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到,

故过定点.故答案为:.

2.(24-25高一上·上海·课后作业)函数(且)的图象必经过点.

【答案】

【解析】因为函数(且)的图象必经过点,所以函数的图象必经过点.故答案为:.

3.(23-24高一上·江苏南京·阶段练习)已知函数的图像恒过定点,且点在直线上,则的最小值为(????)

A.4 B.1 C. D.

【答案】C

【解析】由函数的图像恒过定点,

再由点在直线上,则,

而,

取等号条件是,此时,

故选:C.

4.(2024高三·全国·专题练习)函数的图象过定点,且定点的坐标满足方程,其中,,则的最小值为()

A. B.9 C. D.8

【答案】B

【解析】对于函数,令,得,,

所以函数的图象恒过定点,

又定点的坐标满足方程,所以,即,

又,,所以,

当且仅当,即,时取等号,的最小值为.故选:B.

知识点三指数函数的图象及应用

【解题思路】处理函数图象问题的思路

(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的x,y的值,即可得函数图象所过的定点.

(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).

(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.

【例3-1】(24-25高一上·上海·随堂练习)若函数(且)的图象在

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