2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案).docx

§4二项式定理

4．1二项式定理的推导

必备知识基础练

知识点一二项式定理的正用、逆用

1.若(2x－3eq\r(x))n＋3(n∈N*)的展开式中共有15项，则n的值为()

A．11B．12C．13D．14

2．1－3Ceq\o\al(1,10)＋9Ceq\o\al(2,10)－27Ceq\o\al(3,10)＋…－39Ceq\o\al(9,10)＋310＝______．

3．求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．

知识点二二项展开式的通项与系数

4.(x－eq\r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是()

A．－840B．840C．210D．－210

5．(2x－eq\f(1,\r(x)))6的二项展开式中的常数项为________．

6．在(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(4,x)))n的展开式中，前三项的系数按原顺序成等差数列．

(1)求展开式中含x项的系数；

(2)求展开式中的有理项．

知识点三二项展开式中各项系数的和

7.在(2x＋x2)10的展开式中，各项的系数之和为()

A．1B．310－1

C．310D．210

8．将(1－2x)(1－x)8的展开式写成按升幂排列的和的形式，那么所有奇数项的系数和为________，所有奇次项的系数和为________．

9．设(1－2x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020(x∈R).

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2020的值；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2019的值；

(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2020|的值．

关键能力综合练

一、选择题

1．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，则a＋b＝()

A．45B．55C．70D．80

2．在(eq\r(x)＋eq\f(2,x))n的展开式中，若常数项为60，则n＝()

A．3B．6C．9D．12

3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()

A．－1B．－2C．－3D．－4

4．二项式(x－eq\f(a,x))8的展开式中x2的系数是－7，则其中正确的是()

A．a＝eq\f(1,2)

B．展开式中含x6项的系数是－4

C．展开式中含x－1项

D．展开式中常数项为40

5．[探究题](x＋eq\f(1,x2)－1)6展开式中x2的系数为()

A．－45B．－15C．15D．45

二、填空题

6．设a∈Z，且0≤a13，若512017＋a能被13整除，则a＝________．

7．若(x＋2)n(n∈N*)的展开式的第4项是eq\f(5,2)，第3项的二项式系数是15，则x的值为________．

8．[易错题]若(1＋2x2)(1＋eq\f(1,x))n的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含eq\f(1,x2)项的系数是________．

三、解答题

9．已知(eq\r(x)－eq\f(2,\r(3,x)))n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1.

(1)求展开式中的所有有理项；

(2)求n＋6Ceq\o\al(2,n)＋36Ceq\o\al(3,n)＋…＋6n－1Ceq\o\al(n,n)的值；

(3)求系数的绝对值最大的项．(注：结果可以有组合数、幂)

学科素养升级练

1.[多选题]若(x＋eq\f(a,x))(2x－eq\f(1,x))5的展开式中各项系数之和为2，则下列结论正确的是()

A．a＝1

B．展开式中x6的系数是－32

C．展开式中含x－1项

D．展开式中的常数项为40

2．[学科素养——数学运算]设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中含x项的系数是19(m，n∈N*).

(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；

(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数．

4．1二项式定理的推导

必备知识基础练

1．解析：因为(2x－3eq\r(x))n＋3的展开式中共有n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11.故选A.

答案：A

2．解析：1－3Ceq\o\al(1,10)＋9Ceq\o\al(2,10)－27Ceq\o\al(3,10)＋…－39Ceq\o\al(9,10)＋310＝Ceq\o\al(0