3.2.1 函数的单调性及最大（小）值（解析版）.docxVIP

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3.2.1函数的单调性与最大（小）值

知识点一定义法判断函数的单调性

【

【解题思路】利用定义证明函数单调性的步骤：

1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；

2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；

3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；

4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.

【例1-1】（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明.

【答案】函数在上单调递减，证明见解析

【解析】函数在上单调递减，证明如下：

函数，

任取，设，

则，

因为，，

所以，

故，即，

故函数在上单调递减.

【例1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．

【答案】函数在上为严格减函数，证明见解析

【解析】当时，函数在区间上为严格减函数．

证明：设，

则．

因为，，所以，，，，

所以，所以．

所以当时，函数在上为严格减函数．

【变式】

1．（24-25高一福建）证明：函数在上是严格减函数．

【答案】证明见解析

【解析】设是区间上的任意给定的两个实数，且，

则．

∵，∴，，，

∴，即，所以，

∴函数在上是严格减函数．

2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；

【答案】在上单调递增，证明见解析

【解析】在上单调递增，证明如下：设，

；

因为，，，，所以，

所以是在上单调递增.

3．（24-25湖南）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．

【答案】函数在上是严格增函数，证明见解析

【解析】当时，在上是严格增函数．

任取，且，

则

．

∵，∴，，．

∵，∴，∴，∴，

∴时，函数在上是严格增函数．

知识点二性质法判断函数单调性

【

【解题思路】常见函数的单调性

函数

单调性

一次函数y＝ax＋b(a≠0)

a＞0时，在R上单调递增；

a＜0时，在R上单调递减

反比例函数y＝eq\f(a,x)(a≠0)

a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；

a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)

二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)

a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；

a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m]

【例2】（24-25高一上北京）下列函数在定义域上为严格减函数的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误；

对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误；

对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误；

对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确.

故选：D.

【变式】

1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】选项A：任取，则，

又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确；

选项B：任取，则，

又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误；

选项C：任取，则，

又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误；

选项D：任取，则，

又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误；

故选：A.

2．（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（????）

A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数

C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同

【答案】C

【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；

对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；

对于C：在是增函数，在是减函数，

，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；

对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；

设定义域为，取，

则，

当时，，即在上单调递减，

当，，即在上单调递减，

同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，

故选：C．

3．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，满足“，都有”的有（????）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】，都有，

知是在上单调递减的函数，

对于A，在R上是增函数，不合题意；

对于B，在R上是减函数，符合题意；

对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为，

所以在上单调递减，符合题意；

对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意.

故选：BC

知识点三图像法、分离常数法等求单调区间

【例3-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（????）

A． B．

C．和 D．和

【答案】C

【解析】因