专题27 点圆,线圆最值(隐圆模型).pdf

隐圆模型点圆、线圆最值【模型专题】

模型隐圆模型－－－－点圆、线圆最值

【模型讲解】

平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种

情况讨论（规定：OD＝d，⊙O半径为r）：

1.当D点在⊙O外时，d＞r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d

＋r，DE的最小值为d－r；

2.当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r

＝2r（即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D、E重合）；

3.若D点在⊙O内时，d＜r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，

DE的最小值为r－d．

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【口诀】双定边，手拉手；点共线，最值显；和最大，差最小

【例题5】

1．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B

的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为____，OB长的最小值为____，AC长的最大值为____，AC长的最小

值为____，AB长的最大值为____，AB长的最小值为____．

【变式】

2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为3,4，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分

别交于A、B两点，若点A、点B关于原点对称，当线段AB最短时，点A的坐标为______．

【变式】

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，

则线段OQ的最小值为______．

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【变式】

4．（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑

动．你能用虚线画出木杆中点M随之运动的轨迹吗？

（2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示，连接OC，当木杆AB在下滑过程中，

试求OC的最大值．

模型五

【模型讲解】

5．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点．

（1）如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，

此时SABC的面积最大．

△

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如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，

此时SABC的面积最大．

△

（2）如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则

点P到直线l的最小距离是（如图③），点P到直线l的最大距离是（如图④）．

【例题】

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，

将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）

A．1B．1.2C．3D．5

【变式】

7．如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP=2，过点P作直线l，使l⊥PA．

（1）点O到直线l距离的最大值为；

（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当