专题02 二次函数与将军饮马最值问题（专项训练）（解析版).pdf

专题02将军饮马最值问题（专项训练）

2

1.（黑龙江二模）如图，抛物线y＝x+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

2

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x+bx﹣2上，

2

∴×（﹣1）+b×（﹣1）﹣2＝0，

解得：b＝﹣，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2．

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x2﹣3x﹣4）＝，

∴顶点D的坐标为（，﹣）．

（2）设点C关于x轴的对称点为C′，直线C′D的解析式为y＝kx+n，

则，

解得：．

∴y＝﹣x+2．

∴当y＝0时，﹣x+2＝0，

解得：x＝．

∴m＝．

2

2．（2022•宁远县模拟）如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐

标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

2

【解答】解：（1）∴二次函数y＝x+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），

∴，

解得：．

2

∴二次函数解析式为y＝x+2x﹣3；

2

（2）∵抛物线y＝x+2x﹣3的对称轴x＝﹣＝﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣

3），

∴C、D关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，

连接AC与对称轴的交点就是点P，

此时PA+PD＝PA+PC＝AC＝＝＝3．

∴PA+PD的最小值为3；

2

3．（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）

两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

2

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

22

（2）∵y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

∵A、B关于直线x＝1对称，所以AC与对称轴的交点为点P，

此时C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，

此时△BPC的周长最短，

∵点C的横坐标是2，

yC＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，

∴C（2，﹣