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深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考
数学试题
试卷共4页,卷面满分150分,考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名?准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时,务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后,将答题卡交回.
一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合,则()
A.B.C.D.
2.已知命题,则命题的否定为()
A.B.
C.D.
3.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
4.函数的图象大致为()
A.B.
C.D.
5.设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为()
A.1B.2C.3D.4
6.已知函数的定义域为是偶函数,是奇函数,则的值为()
A.B.3C.D.
7.已知三倍角公式,则的值所在的区间是()
A.B.C.D.
8.已知函数,若对于任意的实数与至少有一个为正数,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是()
A.若函数定义域为,则函数的定义域为
B.若定义域为的函数值域为,则函数的值域为
C.函数与的图象关于直线对称
D.成立的一个必要条件是
10.若,则下列不等式一定成立的是()
A.B.
C.D.
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足,则()
A.的图象关于点对称
B.是以8为周期的周期函数
C.
D.
三?填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数,则__________.
13.已知函数且,若函数的值域是,则实数的取值范围是__________.
14.若,则的最大值为__________.
四?解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
设函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围.
16.(本小题满分15分)
记的角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若点是边上一点,且,求的值.
17.(本小题满分15分)
如图,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,已知为棱的中点,在底面的投影为线段的中点,是棱上一点.
(1)若,求证:平面;
(2)若,确定点的位置,并求二面角的余弦值.
18.(本小题满分17分)
已知函数.
(1)函数与的图像关于对称,求的解析式;
(2)在定义域内恒成立,求a的值;
(3)求证:,.
19.(本小题满分17分)
设集合,其中.若集合的任意两个不同的非空子集,都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等,则称集合具有性质.
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P,不必说明理由;
(2)已知集合具有性质P.
①记,求证:对于任意正整数,都有;
②令,,求证:;
(3)在(2)的条件下,求的最大值.
深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案
一?选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
A
D
D
C
B
AC
BD
ABC
二?填空题
12.13.14.
三?解答题
15.解:(1)由,得.
因为,,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2)当时,,所以.
令,得,解得或.
与在区间上的情况如下:
所以,当且时,
存在,,,使得.
由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.
16.(1)由及正弦定理得,
整理得,
所以由余弦定理得:
因为,所以.
(2),
记,则.
在中,.①
在中,由正弦定理得.②
由①②及得,即,解得.
由,解得,故.
17.(1)设,因为底面是边长为2的菱形,
所以,对角线BD平分,又为棱的中点,所以,
在中,根据角平分线性质定理得,
又,所以,所以,,
平面,且平面平面.
(2)平面,且平面,,因为,所以,
在中,,,所以是等边三角形,
又为棱的中点,所以,
平面,平面,所以平面平面,
又平面平面,平面ABCD,平面,
又平面,,
又,平面,
平面,且平面,.
因为P在底面的投影H为线段的中点,所以,又
所以为等边三角形,故为中点,
所以在底面上的投影为的中点.
在中,,
,以为原点,分别以
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