新高考数学一轮复习讲与练第16讲 等比数列及前n项和（讲）（原卷版）.doc

第03讲等比数列及其n项和

本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，

选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.

考点一等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.那么eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即G2＝ab.

考点二等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；

通项公式的推广：an＝amqn－m.

(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

考点三等比数列的性质

已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

考点四常用结论

1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也是等比数列.

2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.

4.三个数成等比数列，通常设为eq\f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.

高频考点一等比数列基本量的运算

【例1】(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()

A.16 B.8

C.4 D.2

【方法技巧】

1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.

2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).

【变式训练】

1.(2020·新高考海南卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.

高频考点二等比数列的判定与证明

【例3】Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q0.

(1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

【方法技巧】

1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.

2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.

【变式训练】

(2021·石家庄质量评估)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).

(1)证明：数列{a2n－1}和数列{a2n}都是等比数列；

(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项.

高频考点三等比数列的性质及应用

【例4】(2021·长郡中学检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()

A.25 B.20

C.15 D.10

【方法技巧】

1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则a