新高考数学一轮复习讲与练第19讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）（解析版）.doc

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系

本讲为高考命题热点，通常以选择题出现，但出现频次较少，往往与其他知识点结合，考察空间想象能力与逻辑推理能力.

考点一平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

考点二空间点、直线、平面的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形

语言

符号

语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形

语言

符号

语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形

语言

符号

语言

a，b是异面直线

a?α

考点三平行公理与等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

考点四异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

考点五常用结论

1.公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

高频考点一平面的基本性质及应用

【例1】（1）如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()

答案D

解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面.

（2）如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是()

A.直线AC B.直线AB

C.直线CD D.直线BC

答案C

解析由题意知，D∈l，l?β，所以D∈β，

又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上.

又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，

所以平面ABC∩平面β＝CD.

（3）在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P()

A.一定在直线BD上

B.一定在直线AC上

C.在直线AC或BD上

D.不在直线AC上，也不在直线BD上

答案B

解析如图所示，

因为EF?平面ABC，

HG?平面ACD，EF∩HG＝P，

所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.

又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.

【方法技巧】

1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.

3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

高频考点二空间两直线的位置关系

【例1】(1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：

①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是()

A.①④ B.②④

C.①③④ D.②③④

(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()

A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

答案(1)B(2)B

解析(1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，

又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，

所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确.

③令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.

因为M，N分别是C1D1，BC的中点，

所以ON∥