新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第09讲 函数的奇偶性与周期性（解析版）.doc

第09讲函数的奇偶性与周期性

【基础知识全通关】

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

【考点研习一点通】

考点01：函数奇偶性的判断

【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在SKIPIF10为增函数的是（）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】ACD

【解析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于SKIPIF10，SKIPIF10，偶函数，且在SKIPIF10为增函数，符合题意；

对于SKIPIF10，SKIPIF10，不是偶函数，不符合题意；

对于SKIPIF10，SKIPIF10，是偶函数，在SKIPIF10上为增函数，故在SKIPIF10为增函数，符合题意；

对于SKIPIF10，SKIPIF10，是偶函数，且在SKIPIF10为增函数，符合题意；

故选：SKIPIF10．

【知识拓展】

(1)奇、偶函数定义域的特点．

由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)奇、偶函数的对应关系的特点．

①奇函数有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝－1(f(x)≠0)；

②偶函数有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?eq\f(f?－x?,f?x?)＝1(f(x)≠0)．

(3)函数奇偶性的三个关注点．

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；

③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

(4)奇、偶函数图象对称性的应用．

①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

【典例2】【多选题】（2022·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数SKIPIF10的定义域都是R，且SKIPIF10是奇函数，SKIPIF10是偶函数，则（）

A．SKIPIF10是奇函数 B．SKIPIF10是奇函数

C．SKIPIF10是偶函数 D．SKIPIF10是偶函数

【答案】AD

【解析】

由奇偶性的定义逐一证明即可.

【详解】

对于A，SKIPIF10，SKIPIF10，即SKIPIF10是奇函数，故A正确；

对于B，SKIPIF10，SKIPIF10，即SKIPIF10是偶函数，故B错误；

对于C，SKIPIF10，SKIPIF10，即SKIPIF10是奇函数，故C错误；

对于D，SKIPIF10，SKIPIF10，即SKIPIF10是偶函数，故D正确；

故选：AD

考点02：函数奇偶