新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第27讲 正弦定理、余弦定理及应用（原卷版）.doc

第27讲正弦定理、余弦定理

【基础知识网络图】

【基础知识全通关】

一、正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：SKIPIF10

【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且SKIPIF10（SKIPIF10为SKIPIF10的外接圆半径）；

（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．

（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.

二、余弦定理

在△ABC中，

SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10

变形为：

SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10

【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它=3\*GB3③已知两边和夹角，求其它；

（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；

（3）正、余弦定理可以结合使用.

三、三角形的面积公式

(1)SKIPIF10，其中SKIPIF10为SKIPIF10边上的高

(2)SKIPIF10

（3）SKIPIF10，其中SKIPIF10

四、三角形形状的判定方法

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，

解斜三角形的主要依据是：

（1）角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF10；

（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；

（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理

常用两种途径：

（1）由正余弦定理将边转化为角；

（2）由正余弦定理将角转化为边.

【微点拨】=1\*GB3①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.=2\*GB3②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.

五、解三角形应用的分类

（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；

（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；

（3）角度问题；

（4）面积问题.

【考点研习一点通】

考点01运用正余弦定理解三角形

例1、在SKIPIF10中，内角SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10所对的边分别为SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10．已知SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10．

（1）求SKIPIF10，SKIPIF10的值：

（2）求SKIPIF10的值．

【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为SKIPIF10，若SKIPIF10，SKIPIF10，则SKIPIF10______．

【变式1-2】在SKIPIF10中，若SKIPIF10，则SKIPIF10=（）

A．1 B．2 C．3 D．4

考点02利用正余弦定理判定三角形形状

例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不