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绝密★启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
全国甲卷文科数学
使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
5.考试结束后,只将答题卡交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,则()
A. B. C. D.2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得,,故.
故选:D
2.若集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得,对于集合中的元素,满足,
则可能的取值为,即,
于是.
故选:C
3.若满足约束条件,则的最小值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出可行域后,利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足,作出可行域如图:
由可得,
即的几何意义为的截距的,
则该直线截距取最大值时,有最小值,
此时直线过点,
联立,解得,即,
则.
故选:D.
4.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一:画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.
解法二:分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一:画出树状图,如图,
由树状图可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24种排法,
其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,
故所求概率.
解法二:当甲排在排尾,乙排第一位,丙有种排法,丁就种,共种;
当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有种排法,丁就种,共种;
于是甲排在排尾共种方法,同理乙排在排尾共种方法,于是共种排法符合题意;
基本事件总数显然是,
根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为.
故选:B
5.已知等差数列的前项和为,若,则()
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成和来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.
【详解】方法一:利用等差数列的基本量
由,根据等差数列的求和公式,,
又.
故选:D
方法二:利用等差数列的性质
根据等差数列的性质,,由,根据等差数列的求和公式,
,故.
故选:D
方法三:特殊值法
不妨取等差数列公差,则,则.
故选:D
6.已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由焦点坐标可得焦距,结合双曲线定义计算可得,即可得离心率.
【详解】由题意,设、、,
则,,,
则,则.
故选:C.
7.设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程,即可得其与坐标轴的交点坐标,即可得其面积.
【详解】,
则,
即该切线方程,即,
令,则,令,则,
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选:A.
8.函数在区间的图象大致为()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入可得,可排除D.
【详解】,
又函数定义域为,故该函数为偶函数,可排除A、C,
又,
故可排除D.
故选:B.
9.已知,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将弦化切求得,再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为,
所以,,
所以,
故选:B.
10.已知直线与圆交于两点,则的最小值为()
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,由条件可得直线过定点,从而可得当时,的最小,结合勾股定理代入计算,即可求解.
【详解】因为直线,即,令,
则,所以直线过定点,设,
将圆化为标准式为,
所以圆心,半径,
当时,的最小,
此时.
故选:C
11.设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题:
①若,则或
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