2024年高考全国甲卷数学(文)真题（解析版）.docx

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2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷文科数学

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设，则（）

A. B. C. D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，，故.

故选：D

2.若集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足，

则可能的取值为，即，

于是.

故选：C

3.若满足约束条件，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.

【详解】实数满足，作出可行域如图：

由可得，

即的几何意义为的截距的，

则该直线截距取最大值时，有最小值，

此时直线过点，

联立，解得，即，

则.

故选：D.

4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图，

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，

其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，

故所求概率.

解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；

于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；

基本事件总数显然是，

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.

故选：B

5.已知等差数列的前项和为，若，则（）

A. B. C.1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

由，根据等差数列的求和公式，，

又.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，

，故.

故选：D

方法三：特殊值法

不妨取等差数列公差，则，则.

故选：D

6.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4 B.3 C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.

【详解】由题意，设、、，

则，，，

则，则.

故选：C.

7.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.

【详解】，

则，

即该切线方程，即，

令，则，令，则，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选：A.

8.函数在区间的图象大致为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.

【详解】，

又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，

又，

故可排除D.

故选：B.

9.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为，

所以，，

所以，

故选：B.

10.已知直线与圆交于两点，则的最小值为（）

A.2 B.3 C.4 D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.

【详解】因为直线，即，令，

则，所以直线过定点，设，

将圆化为标准式为，

所以圆心，半径，

当时，的最小，

此时.

故选：C

11.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：

①若，则或