2024年高考全国甲卷数学(文)真题(解析版).docx

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绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷文科数学

使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5.考试结束后,只将答题卡交回.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设,则()

A. B. C. D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共轭复数的定义写出,然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得,,故.

故选:D

2.若集合,,则()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得,对于集合中的元素,满足,

则可能的取值为,即,

于是.

故选:C

3.若满足约束条件,则的最小值为()

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后,利用的几何意义计算即可得.

【详解】实数满足,作出可行域如图:

由可得,

即的几何意义为的截距的,

则该直线截距取最大值时,有最小值,

此时直线过点,

联立,解得,即,

则.

故选:D.

4.甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】解法一:画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.

解法二:分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一:画出树状图,如图,

由树状图可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24种排法,

其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,

故所求概率.

解法二:当甲排在排尾,乙排第一位,丙有种排法,丁就种,共种;

当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有种排法,丁就种,共种;

于是甲排在排尾共种方法,同理乙排在排尾共种方法,于是共种排法符合题意;

基本事件总数显然是,

根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为.

故选:B

5.已知等差数列的前项和为,若,则()

A. B. C.1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成和来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.

【详解】方法一:利用等差数列的基本量

由,根据等差数列的求和公式,,

又.

故选:D

方法二:利用等差数列的性质

根据等差数列的性质,,由,根据等差数列的求和公式,

,故.

故选:D

方法三:特殊值法

不妨取等差数列公差,则,则.

故选:D

6.已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()

A.4 B.3 C.2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距,结合双曲线定义计算可得,即可得离心率.

【详解】由题意,设、、,

则,,,

则,则.

故选:C.

7.设函数,则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程,即可得其与坐标轴的交点坐标,即可得其面积.

【详解】,

则,

即该切线方程,即,

令,则,令,则,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选:A.

8.函数在区间的图象大致为()

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入可得,可排除D.

【详解】,

又函数定义域为,故该函数为偶函数,可排除A、C,

又,

故可排除D.

故选:B.

9.已知,则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将弦化切求得,再根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为,

所以,,

所以,

故选:B.

10.已知直线与圆交于两点,则的最小值为()

A.2 B.3 C.4 D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意,由条件可得直线过定点,从而可得当时,的最小,结合勾股定理代入计算,即可求解.

【详解】因为直线,即,令,

则,所以直线过定点,设,

将圆化为标准式为,

所以圆心,半径,

当时,的最小,

此时.

故选:C

11.设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题:

①若,则或

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