第3节-任意项级数敛散性的判别.ppt

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——一元微积分学大学数学（一）第3节任意项级数敛散性的判别

第七章无穷级数第3节任意项级数敛散性的判别

常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数

1级数的绝对收敛和条件收敛定义

定理7.6(即绝对收敛的级数必定收敛)证?un?|un|?从而

2.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,或其中,un?0(n=1,2,…).它的一般形式为定义

(莱布尼兹判别法)满足条件:(1)(2)un?un+1(n=1,2,…)则交错级数收敛,且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)定理7.7若交错级数(单调减少)

0(由已知条件)只需证级数部分和Sn当n??时极限存在.

证1)取交错级前2m项之和由条件(2)：得S2m?及由极限存在准则：un?un+1,un?0,

2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述,有

讨论级数的敛散性.这是一个交错级数：又由莱布尼兹判别法,该级数是收敛.解例1

解由莱布尼茨判别法,原级数收敛.例2

(1)?1时,级数绝对收敛.(2)?1(包括?=??)时,级数发散.(3)?=1时,不能由此断定级数的敛散性.(达朗贝尔判别法)

解由P级数的敛散性：即原级数绝对收敛.判别级数的敛散性.例3

级数是否绝对收敛?解由调和级数的发散性可知,故发散.例4

但原级数是一个交错级数,且满足：故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的.由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.

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