微专题(五) 情境下的数列问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

数学，不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，因此基于问题情境下的数列问题

在高考中正逐步成为热点，通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，

以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题思路是审题、建

立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；

二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数

列知识、解题的方法和技巧求解．

类型一数学文化中的数列问题

数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将传统文化与高中数学知识有机结合，

有效考查阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力．解题时要对试题所提供的数学文

化信息进行整理和分析，从中构建等差数列或等比数列模型．

例1(1)(2023·湖南永州第一次高考适应性考试)如图所示，九连环是中国传统民间智力玩

具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连

环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部

*

从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为a(n≤9，n∈N)，

n

*

已知a＝1，a＝1，按规则有a＝a＋2a＋1(n≥3，n∈N)，则解下第4个圆环最少需要

12nn1n2

－－

移动的次数为()

A．4B．7

C．16D．31

答案B

*

解析由题意，a＝1，a＝1，a＝a＋2a＋1(n≥3，n∈N)，解下第4个圆环，则n＝4，

12nn1n2

－－

即a＝a＋2a＋1，而a＝a＋2a＋1＝1＋2＋1＝4，则a＝4＋2＋1＝7.故选B.

4323214

(2)(2024·湖北鄂州模拟)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天

干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、

未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天

干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，

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第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙

亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专

制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，

请推算新中国成立的年份为()

A．己丑年B．己酉年

C．丙寅年D．甲寅年

答案A

解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从

1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，

则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949

年为己丑年．故选A.