3.3 幂函数（原卷版）.docxVIP

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3.3幂函数

知识点一幂函数的判断

【

【解题思路】幂函数的判断及应用

1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：

①指数为常数

②底数为自变量，

③xα的系数为1

2.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．

【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）

A． B．

C． D．

【变式】

1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（????）

A． B． C． D．

2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2024湖北）给出下列函数：

①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（????）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

知识点二幂函数的单调性与奇偶性

【

【解题思路】1.幂函数单调性的判断

2.幂函数的奇偶性

【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（????）

A． B． C． D．

【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（????）

A． B． C．2 D．4

【例2-3】（23-24山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式】

1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（???）

A． B． C．0 D．3

3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（????）

A． B． C．0 D．3

4．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（????）

A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数

C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为

知识点三比较幂值的大小

【

【解题思路】比较幂值大小的方法

(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．

(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．

【例3-1】（2023高一·江苏·专题练习）若，则实数a的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【例3-2】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【例3-3】（22-23高一·全国·课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：

(1)，；

(2)，；

(3)，．

【变式】

1．（23-24高一上·重庆·期中）已知，则（????）

A． B． C． D．

2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（????）

A． B．

C． D．

4．（22-23高一上·全国·期中）若，则实数的取值范围为.

5．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为

知识点四幂函数的综合运用

【

【解题思路】1.幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．

2.解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

【例4-1】（23-24高一上·广西钦州·期中）已知是幂函数.

(1)求、的值；

(2)若，求实数的取值范围.

【例4-2】（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知幂函数.

(1)求的值；

(2)若为偶函数，求的解析式；

(3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围.

【变式】

1．（2024湖南·阶段练习）已知函数．

(1)求的解析式；

(2)若对任意，，不