3.2.2 函数的奇偶性（原卷版）.docxVIP

PAGE

PAGE1

3.2.2函数的奇偶性

知识点一判断函数的奇偶性

【

【解题思路】判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法

(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．

(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

【例1】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6)；(7)；(8).

【变式】

1．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（????）

A．是奇函数， B．是奇函数，

C．是偶函数， D．是偶函数，

2.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性

(1)(2)(3)(4)，(5)

(6)；(7)(8)

知识点二根据奇偶性补充图像

【

【解题思路】巧用奇、偶函数的图象求解问题

奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．

【例2】（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分

(1)请画出函数当时的图象；

(2)写出函数的解析式，值域，增区间．

【变式】

1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，.

(1)求，的值；

(2)求出当时，的解析式；

(3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域.

2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

??

(1)求当时，的解析式；

(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间．

知识点三根据奇偶性求参数

【

【解题思路】利用奇偶性求值的常见类型

(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．

(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．

【例3-1】（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（????）

A． B． C．1 D．2

【例3-2】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（???）

A． B． C． D．2

【例3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（????）

A． B．2 C．1 D．

【例3-4】（2024内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数．

【变式】

1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（????）

A． B．0 C．1 D．2

2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（????）

A． B． C．3 D．2

3．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（????）

A． B． C． D．

4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则.

知识点四根据奇偶性求解析式

【

【解题思路】用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

【例4-1】（23-24·陕西西安）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是.

【例4-2】（23-24福建漳州）若函数是偶函数，且当时，，则当时，.

【变式】

1．（22-23广东阳江）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时，.

2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．

3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为．

4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则．

重难点一奇偶性与单调性解不等式

【

【解题思路】函数的奇偶性与单调性

1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](ab)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．

2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](ab)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减