第54讲　第1课时　求值、最值与范围、证明问题.docxVIP

第54讲圆锥曲线热点问题

第1课时求值、最值与范围、证明问题

【备选理由】例1考查与弦长有关的求值问题;例2、例3、例4考查圆锥曲线的范围与最值问题;例5考查三线共点的有关证明.

例1[配例1使用]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点到直线x-3y=0的距离为105,离心率为255,抛物线G:y2=2px(p0)的焦点与椭圆E的焦点重合,过G的焦点且斜率为k的直线l与E交于A,B两点

(1)求椭圆E与抛物线G的方程.

(2)是否存在常数λ,使得1|AB|+λ|CD|为常数?若存在,求出λ

解:(1)设椭圆E与抛物线G的公共焦点为F(c,0)(c0),

由题意可知焦点F(c,0)到直线x-3y=0的距离d=|c|10=105

所以p2=2,即p=4.由椭圆E的离心率e=ca=2a=255,得a=5,则a2=5,所以b2=a2

综上可知,椭圆E的方程为x25+y2=1,抛物线G的方程为y2=

(2)由(1)知F(2,0),则直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

由y=k(x-2),x25+y2=1,得(1+5k2

则x1+x2=20k21+5k2,x1

所以|AB|=1+k2(x1

由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4

所以|CD|=x3+x4+4=8(

1|AB|+λ|CD|=1+5k

若1|AB|+λ|CD|为常数,则20+5

例2[配例2使用]已知抛物线E:y2=2px(p0),点Q14,m为E上一点,且点Q到E的准线的距离与到坐标原点

(1)求E的方程;

(2)设AB为圆(x+2)2+y2=4的一条不平行于x轴和y轴的直径,分别延长AO,BO交E于C,D两点,求四边形ABCD面积的最小值.

解:(1)设抛物线E的焦点为Fp2,0,连接QO,QF,由题意知|QO|=|QF|,所以p2=2×1

所以E的方程为y2=2x.

(2)由题意,直线AC的斜率存在且不为0,设直线AC的方程为y=kx(k≠0),A(x1,y1),C(x2,y2),由y

得(k2+1)x2+4x=0,则x1=-4

由y=kx,y2=2x,得k2x2-2

所以|AC|=k2+1|x2-x1|=

易知AC⊥BD,用-1k代替k,可得|BD|=23k

所以四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|=2(3

令|k|+1|k|=t(t≥2),则S=6t2

设函数f(t)=6t+8t(t≥2),则f(t)=6-8t2=6t2-8t20,所以f

故当t=2,即|k|=1时,S取得最小值16,

所以四边形ABCD面积的最小值是16.

例3[配例2使用][2023·浙江杭二等四校模拟]已知椭圆C:x216+y24=1,P(x0,y0)是椭圆外一点,过点P作椭圆C的两条切线,切点分别为M,N,直线MN与直线OP(O为坐标原点)交于点Q,A,B是直线OP与椭圆C的两个交点(点B距离点

(1)求直线OP与直线MN的斜率之积;

(2)求△AMN的面积的最大值.

解:(1)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),根据题意知x0y0≠0,

由x216+y24=1,得y=±4-

所以当y1≠0时,直线PM的斜率为-x1

则直线PM的方程为y-y1=-x14y1(x-x1),即x1

当y1=0时,x1x16+y1y4=1成立,所以直线PM的方程为

同理可得直线PN的方程为x2x16+y

因为P是两条切线的交点,所以x1x016+y1y0

所以直线MN的方程为x0x16+y0y4=1,则kMN=-x0

所以kMN·kOP=-x04y0·

(2)①当x0≠0,y0≠0时,联立直线MN与椭圆C的方程,得y

得(x02+4y02)x2-32x0x+256-

则Δ=256(4y04-16y02+x02y02)0,x1+x2=

所以|MN|=256(4y

联立直线OP与椭圆C的方程,得y=y0x

则点A到直线MN的距离d=|4

所以

S△AMN=12·256(4y

=8x

令t=x02+4y02(t0),则S△AMN

令1+4t=m(m1),则1-4t=2-m,记f(m)=m3(2-m)=-m4+2m

则f(m)=-4m3+6m2=-2m2(2m-3),

所以f(m)在1,32上单调递增,在

所以当m=32,即t=8,即x02+4y02=64(x0≠0,y0≠0)时,f(m)取得最大值

所以S△AMN≤82716=63,此时△AMN的面积的最大值是63

②当x0=0时,直线MN的方程为y=4y0,

可得|MN|=81-4y02,根据椭圆的对称性,不妨设y00,

则点A到直线MN的距离d=4y0

所以S△AMN=12×81-4y02

令1+2