随机过程：随机变量的数字特征.ppt

随机信号分析第一章概率与随机变量本章学习的主要内容★随机变量及其分布★随机变量的数字特征★随机变量的函数★随机变量的特征函数★大数定理及中心极限定理1.4随机变量的数字特征★数学期望★方差★协方差和相关系数★矩和协方差矩阵1.5随机变量的函数★一维随机变量函数的分析★二维随机变量函数的分析★随机变量函数的数字特征1.6随机变量的特征函数★特征函数的定义★特征函数的性质1.7大数定律及中心极限定理★大数定律的物理意义★中心极限定理的物理意义本堂课的作业★第23页习题1.13随机变量的数学期望★离散型随机变量的数学期望设离散随机变量X的分布律为：P{X=xk}=pkk=1,2,…若级数绝对收敛，则定义X的数学期望为数学期望表示统计平均运算，常记作mX。随机变量的数学期望★连续型随机变量的数学期望对于连续型随机变量X，若它的概率密度为f(x)，并且积分绝对收敛，则定义X的数学期望为随机变量的数学期望★数学期望的性质1、设X为一随机变量，C为常数，则有E[CX]=C·E[X]2、设X，Y为任意二随机变量，则有E[X+Y]=E[X]+E[Y]3、设X，Y为相互独立的随机变量，则有E[X·Y]=E[X]·E[Y]随机变量的方差★方差的定义对于随机变量X，定义下式D[X]=E[(X-mx)2]为X的方差，其中mx=E[X]★方差的计算D[X]=E[(X-mx)2]=E[X2-2mxX+mx2]=E[X2]-mx2随机变量的方差★方差的性质1、设C为常数，则有D[C]=02、设X为随机变量，C为常数，则有D[CX]=C2D[X]3、设X，Y为相互独立的随机变量，则有D[X+Y]=D[X]+D[Y]协方差和相关系数★协方差对于任意二随机变量X和Y，定义下式cov[X，Y]=E[(X-mx)(Y-my)]为随机变量X和Y的协方差。★相关系数定义下式为随机变量X和Y的相关系数。矩和协方差矩阵★矩对于任意二随机变量X和Y，如果E[Xk]，k=1,2,…存在，定义它为X的k阶原点矩；如果E[(X-mX)k]，k=1,2,…存在，定义它为X的k阶中心矩；如果E[XkYl]，k,l=1,2,…存在，定义它为X和Y的k+l阶混合矩；如果E[(X-mX)k(Y-my)l]，k,l=1,2,…存在，定义它为X和Y的k+l阶中心混合矩。矩和协方差矩阵★协方差矩阵二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩，分别记为K11＝E[(X1-mX1)2]K12＝E[(X1-mX1)(X2-mX2)]K21＝E[(X2-mX2)(X1-mX1)]K22＝E[(X2-mX2)2]将它们排成矩阵的形式：K11K12K21K22则该矩阵称为(X1,X2)的协方差矩阵。一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换设随机变量X和Y存在单调函数关系Y=g(X)，并且存在反函数X=h(Y)。这时，如果X位于(x,x+dx)的很小区间内，则Y必位于(y,y+dy)的对应区间内。于是，这两个事件的概率应该相等，即有fY(y)dy=fX(x)dx或fY(y)=fX(x)dx/dy一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换(续)由于概率密度不能为负值，因此dx/dy应取绝对值，故可得fY(y)=|dx/dy|·fX[h(y)]=|h’(y)|·fX[h(y)]一维随机变量函数的分析★单调变换函数的单值变换(续)[例]设随机变量Y和X之间是线性关系，即有Y=aX+b。已知X服从参数a和σ的正态分布，求Y的概率密度。[解]由给的线性关系可知X=h(Y)=(Y-b)/a，由此可得|h’(y)|=1/|a|，根据fY(y)=|h’(y)|·fX[h(y)]，一维随机变量函数的分析★非单调变换函数的多值变换设X=h(Y)为双值函数关系，即一个Y值对应两个X值。当Y位于(y,y+dy)的区间内时，对应两种可能性，即X位于(x1,x1+dx1)和(x2,x2+dx2)区间内。这时应有fY(y)dy=fX(x1)dx1＋fX(x2)dx2将