专题02 二次函数存在性问题训练2（等边三角形和等腰直角三角形精选30道）（解析版） .pdf

专题02二次函数存在性问题训练2

（等边三角形和等腰直角三角形精选30道）

【类型一等边三角形】

=2++3(1,0)(−3,0)

1．已知抛物线经过点和点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；

△△

(2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的

最小值；若不存在，请说明理由；

△

(3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写

出符合条件的直线的函数表达式．

【答案】(1)=−2−2+3

(2)(−1，2)，△周长最小值为32+10

3333

(3)=−+或=−

3333

【分析】(1)将点(10)(−30)代入=2++3即可；

，，，

(2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解；

△△

(3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴

的夹角，进而即可得解．

(10)(−30)=2++3

【详解】（1）将点，，，代入得

++3=0

9−3+3=0

=−1

解得，=−2

∴抛物线表达式为=−2−2+3

（2）如图，连交对称轴与点E，连，

=−2−2+3(10)(−30)

由(1)知，，，，

∴=−2−2+3=−(+1)2+4

∴对称轴为：直线=−1

∴令=0得=3

∴(0,3)

∴=12+32=10,=32+32=32

=+

设直线的解析式为

=3

∴

−3+=0

=1

解得=3

=+3

∴直线的解析式为

∴当=−1时=−1+3=2

∴(−1，2)

∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质，

∴△周长最小值=++=++=+=32+10

（3）∵=−2−2+3，△是等边三角形

∴=,∠=6