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北师大版七年级下册数学培优压轴题

一．解答题（共8小题）

1．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋

转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否

成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

2．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF=∠BAD．

求证：EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD

上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、

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CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请

证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

3．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，

∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是．

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（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数量关

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系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明

小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如

图4）．若在射线BA上存在点F，使S=S，请直接写出相应的BF的长．

△DCF△BDE

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4．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），

分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移

动而变化？请说明理由；

（3）如图2，若点P固定，将△PBD