新高考数学一轮复习讲与练第05讲 复合函数与幂函数（讲）（解析版）.doc

第2讲复合函数与幂函数

本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，主要通过对函数定义的理解解决抽象函数相关的问题，包括定义域和值域的一系列题型思想，对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数，也是高中需要学习的函数之一。

考点一复合函数

1.复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.

2.函数的复合单调性的变化:

f(x)+g(x)=h(x)

f(x)-g(x)=h(x)

增+增=增

增-增

增+减

增-减=增

减+减=减

减-减

减+增

减-增=减

注意：加同不变，减异随前。

3.复合函数的单调性变化

SKIPIF10

SKIPIF10内函数

SKIPIF10外函数

SKIPIF10

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

注意：同增异减，即内外函数单调性相同时，单调性递增；反之，递减。

考点二幂函数

1.幂函数的定义

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2.5个常见幂函数的图象与性质

函数

y＝x

y＝x2

y＝x3

SKIPIF10

y＝x－1

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶

函数

奇函数

单调性

在R上单调递增

在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增

在R上单调递增

在(0，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减

图象

过定点

(0,0)，(1,1)

(1,1)

高频考点一已知f(x)定义域，求f(g(x))的定义域

例1、已知函数SKIPIF10的定义域为SKIPIF10，则函数SKIPIF10的定义域为（???????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【解析】

∵SKIPIF10的定义域为SKIPIF10，∴SKIPIF10，由SKIPIF10，得SKIPIF10，则函数SKIPIF10的定义域为SKIPIF10

故选：A.

【变式训练】

1、若函数SKIPIF10的定义域为SKIPIF10，则函数SKIPIF10的定义域为______．

【答案】SKIPIF10

【解析】

SKIPIF10的定义域为SKIPIF10

SKIPIF10

SKIPIF10

即SKIPIF10的定义域为SKIPIF10

故答案为：SKIPIF10

【基本规律】

1、抽象函数求解解析式：

2、求解定义域就是求解x的取值范围；

3、f()相同(对应法则相同条件)下“（）”内取值范围相同。

注意：抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。

高频考点二已知f(g(x))定义域，求f(x)的定义域

例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(x)的定义域是（???????）

A．[0，5] B．[-1，4] C．[-3，2] D．[-2，3]

【答案】B

【解析】

∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，

∴-2≤x≤3，

∴-1≤x+1≤4，

∴函数y=f(x)的定义域是[-1，4].

故选：B

【变式训练】

1、已知SKIPIF10的定义域为SKIPIF10，则SKIPIF10的定义域为?????????????????????????????????（???????）

A．SKIPIF10