题析“因式分解”应注意的问题及常见错误.pdfVIP

题析“因式分解”应注意的问题及常见错误

新浙教版教材下册第四章主要学习的内容是多项式的因式分解。

这一章的重点是因式分解的几种基本方法，难点是学完几种基本方法后，能否

根据不同的题目，进行具体的分析，灵活地综合运用多种方法分解因式，突破难点

的关键在于掌握分解因式各种方法的特点。

1学习本章内容的要求

（1）明确因式分解的意义，掌握因式分解的常用方法和一般步骤。

（2）能熟练地综合运用学过的几种基本方法进行因式分解。

2学习中因注意的问题

（1）因式分解是一种和差化积的变换，属于恒等变形，变形前后的式子必须

相等（恒等），保持“形”变而“值”不变，既不能“无中生有”，也不能“化有为无”。

如：

x2-xy+y2=x2-2xy+y2=（x-y）2就是错误的。

（2）因式分解的定义中所说的“积的形式”是对因式分解的多项式的整体来说，

不能只分解多项式的一部分，如：

①x2+2x-16=（x-3）（x+5）-1

（2）x3-x2+x-1=x（x2-x+1）-1

这些表示方法都不能算是因式分解。

根据定义，多项式所分解成的每个因式必须是整式，例如x-y=（x2-y2）×就

不是因式分解。

（3）教材中指出：“因式分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止”指的

是在规定的数系范围内不能再分解为止。在没学到实数之前，只能在有理数范围内

进行。如36x4-y4=（6x2+y2）（6x2-y2），以后学了实数后，另一个因式6x2-y2还

能分解，但现在不能。但要注意并非任一多项式都能在有理数范围内进行分解因式，

如x2-6x+10。对于能够分解的多项式，方法往往不限于一种，要力求选择最简便

的方法。

（4）由于受课本上的例题及其解法的影响，一些同学对因式分解的结果表达

式产生一种错觉，就是表达式一定是唯一的，其实不然，如：

分解因式：m2+mn+n2

解法一：m2+mn+n2=（m）2+2。mn+n2=（m+n）2

解法二：m2+mn+n2=（m2+6mn+9n2）

=（m+3n）2

值得指出的是：上述例说明由于系数与符号的作用，多项式因式分解的结果表

达式可能有几种形式。当然，这些形式不同的表达式是可以互化的，其值不变。

3在学习中，要掌握好以下几种变化，可为分解因式创造有利条件

（1）符號变化。

例：分解因式（a+b）（p-q）+（a-b）（q-p）.

若将q-p变为-（p-q），则

原式=（a+b）（p-q）-（a-b）（p-q）=（p-q）（a+b-a+b）=2b（p-q）

（2）指数的变化。

例：分解因式xn+1-xn-1

若将xn+1变为xn-1.x2，则

原式=xn-1（x2-1）=xn-1（x+1）（x-1）.

（3）代换变化。

例：分解因式4（x+y）2-12（x+y）（2x-y）+9（2x-y）2

若设m=x+y，n=x-y，则

原式=4m2-12mn+9n2=（2m-3n）2.即有

上式=[2（x+y）-3（2x-y）]2=（5y-4x）2

（4）组合变化。

例：分解因式x2-6x-4y2+12y

原式=（x2-4y2）-（6x-12y）=（x+2y）（x-2y）-6（x-2y）=（x-2y）（x

+2y-6）.

（5）展合变化。

例：分解因式ab（c2-d2）-cd（a2-b2）

原式=abc2-abd2-a2cd+b2cd=（abc2-a2cd）+（b2cd-abd2）

=ac（bc-ad）+bd（bc-ad）=（bc-ad）（ac+bd）

（6）增拆变化。

例：分解因式x4+4y4

原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-（2xy）2=