微专题（八） 定序问题、分排问题、相同元素问题的解题策略--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

排列组合问题是高中数学的重点和难点内容之一，也是求解概率问题的基础．排列组合问题

不仅内容抽象，题型多样，而且解法灵活，不易掌握．解答排列组合问题时，要注意分析题

型类别，抓住问题的本质，采取恰当的方法来处理问题．下面我们重点讲解一下定序问题、

分排问题、相同元素问题的解题策略．

类型一定序问题

例1身高互不相同的7名同学站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排

法有________种(用数字作答)．

答案840

4

解析解法一：先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A种排法，留下三个空位，

7

4

甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排，即有A＝840种排法．

7

7

解法二：将7名同学全排列，有A种排法，因为甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列，

7

A7

7

所以共有＝840种排法．

A3

3

一般地，对于某些元素的顺序固定型问题，解决时有两种方法：

(1)倍缩法：先不考虑限制条件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；

(2)空位(或占位)法：在总位置中，安排非定序元素的位置，然后对定序元素进行排列时，只

**

有1种排法．如已知n个不同的元素进行排列，要求其中m(m≤n，n∈N，m∈N)个元素相

An

n

对顺序固定不变，有种不同的方法，或从n个位置中排m个元素之外的n－m个元素，再

Am

m

－

放这定序的m个元素，共有Anm种不同的方法．

n

对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素

（m＋n）！

为m个，则排列数为.

n！

1．某班2024年元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果

将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插入方法的种数为()

A．2B．11

C．36D．42

答案D

解析将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插

1

2025年高考数学复习讲义及练习解析

入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7

＝42种插入方法．

2．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程

丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是________．

答案120

解析六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，

6！

共＝120种排法．

3！

类型二分排问题