2024-2025年北师大版数学必修第一册4.2.2换底公式(带答案).docx

2．2换底公式

必备知识基础练

知识点一利用换底公式求值

1．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝()

A．1B．2

C．3D．5

2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________．

3．设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．

知识点二利用换底公式计算

4．(logeq\s\do9(\f(1,3))4)·(log227)＝()

A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．6D．－6

5．计算：

(1)log927；

(2)log2eq\f(1,125)×log3eq\f(1,32)×log5eq\f(1,3)；

(3)(log43＋log83)(log32＋log92).

知识点三利用换底公式证明

6．证明：loganbm＝eq\f(m,n)logab(a0，且a≠1，n≠0).

7．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z).

关键能力综合练

1.eq\f(log29,log23)＝()

A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(3,2)D．eq\f(9,2)

2．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝()

A．a＋bB．a－bC．abD．eq\f(a,b)

3．设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m＝()

A．eq\r(10)B．10C．20D．100

4.eq\f(1,log\s\do9(\f(1,4))\f(1,9))＋eq\f(1,log\s\do9(\f(1,5))\f(1,3))＝()

A．lg3B．－lg3

C．eq\f(1,lg3)D．－eq\f(1,lg3)

5．(多选题)已知2x＝3y＝a，且(x－1)(y－1)＝1，则a的值可能为()

A．1B．2C．3D．6

6．(探究题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么()

A．ab＋bc＝2acB．ab＋bc＝ac

C．eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)D．eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)

7．已知log32＝m，则log3218＝________．(用m表示)

8．(易错题)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258).

9．计算：5log53－log311·log1127＋log8

核心素养升级练

1．(多选题)已知正数x，y，z满足等式2x＝3y＝6z，下列说法正确的是()

A．xyzB．3x＝2yC．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(1,z)＝0D．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0

2．(学科素养—逻辑推理)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．

2．2换底公式

必备知识基础练

1．答案：A

解析：∵logax＝eq\f(1,logxa)＝2，∴logxa＝eq\f(1,2).

同理logxc＝eq\f(1,6)，logxb＝eq\f(1,3).

∴logabcx＝eq\f(1,logxabc)＝eq\f(1,logxa＋logxb＋logxc)＝1.

2．答案：9

解析：由换底公式，得eq\f(lg4,lg3)×eq\f(lg8,lg4)×eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝log416＝2，∴lgm＝2lg3＝lg9，∴m＝9.

3．解析：∵3x＝36，4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式，得

x＝eq\f(log3636,log363)＝eq\f(1,log363)，y＝eq\f(log3636,log364)＝eq\f(1,log364)，

∴eq\f(1,x)＝log363，eq\f(1,y)＝log364，

∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log36