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第二章函数

第1讲函数的概念及其表示

课标要求

命题点

五年考情

命题分析预测

1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.

2.了解简单的分段函数,并能简单应用.

求函数的定义域

2022北京T11

本讲是函数部分的基础,命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题,题型以选择题、填空题为主,难度中等偏易.在2025年高考的备考中,要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.

求函数的解析式

分段函数

2022浙江T14;2021浙江T12

学生用书P018

1.函数的概念及表示

函数的

定义

一般地,设A,B是①非空的实数集,如果对于集合A中的②任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.

三要素

④定义域,⑤对应关系,⑥值域.

定义域

自变量x的取值范围A.

值域

函数值的集合{f(x)|x∈A},是集合B的⑦子集.

相等函数

⑧定义域相同,⑨对应关系完全一致.

函数的表示法

⑩解析法,?列表法,?图象法.

注意(1)与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点;(2)解决函数问题时,优先考虑定义域.

常用结论

求函数的定义域时常用的结论

(1)分式型1f(x)要满足f(x)≠0;(2)偶次根式型2nf(x)(n∈N*)要满足f(x)≥0;(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0;(4)对数型logaf(x

f(x)>0;(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠π2+kπ,k∈Z

2.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.

注意(1)分段函数虽由几个部分构成,但它表示的是一个函数;(2)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集.

1.下列f(x)与g(x)表示同一个函数的是(B)

A.f(x)=x2-1与g(x)=x-1·x+1 B.f(x)=x与

C.f(x)=x与g(x)=(x)2 D.f(x)=x2与g(

2.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是(D)

A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=1

3.[教材改编]已知函数f(x)=x2-1,x≤1,1x-1

A.8 B.12 C.-34 D.

解析因为f(x)=x2-1,x≤1,1x-1,x1,所以

f(f(-2))=f(3)=13-1=

4.已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数f(x)的值域为{-1,1,3,5,7}.

学生用书P019

命题点1求函数的定义域

例1(1)[2022北京高考]函数f(x)=1x+1-x的定义域是(-∞,0)∪(0,1

解析因为f(x)=1x+1-x,所以x≠0,1-x≥0,解得x∈(-∞,0)∪(0,

(2)若函数f(1-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为[-3,3].

解析因为函数f(1-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-3≤1-2x≤3.所以函数f(x)的定义域为[-3,3].

命题拓展

若函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数f(1-2x)的定义域为[-12,1]

解析由-1≤1-2x≤2,得-12≤x≤1,所以函数f(1-2x)的定义域为[-12,1

方法技巧

1.求具体函数的定义域的策略

根据函数解析式,构造使解析式有意义的不等式(组),求解不等式(组)即可;对实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.

2.求抽象函数的定义域的策略

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.

注意无论函数的形式如何,定义域均是指其中的自变量x的取值集合.

训练1(1)[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则函数y=f(2x+1)

A.[-32,-1)∪(-1,1

B.[-3,-1)∪(-1,7]

C.(-1,7]

D.[-32,-1

解析因为函数y=f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤2x+1≤3,且x+1≠0,解得x∈[-32,-1)∪(-1,1].故选

(2)[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f(x)=3x-2+(x-4)0的定义域为[23,4)∪(4

解析要使函数f(x)=3x-2+(x-4)0有意义,则有3x-2≥0,

所以函数f(x)=3x-2+

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