3.3 幂函数（解析版）.docxVIP

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3.3幂函数

知识点一幂函数的判断

【

【解题思路】幂函数的判断及应用

1.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：

①指数为常数

②底数为自变量，

③xα的系数为1

2.若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．

【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D.

【变式】

1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意；

B：函数为二次函数，故B不符合题意；

C：函数为二次函数，故C不符合题意；

D：函数为幂函数，故D符合题意.

故选：D

2．（22-23高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C.

3．（2024陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B

4．（2024湖北）给出下列函数：

①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（????）

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，

则可知①和④是幂函数.故选；B.

知识点二幂函数的单调性与奇偶性

【

【解题思路】1.幂函数单调性的判断

2.幂函数的奇偶性

【例2-1】（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由不等式，即，解得或，

当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增，

根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.

故选：A.

【例2-2】（23-24辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（????）

A． B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数在第一象限内单调递减，可得，

则，所以.故选：.

【例2-3】（23-24山东德州·期末）“或”是“幂函数在上是减函数”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为为幂函数，且在上是减函数，

所以，解得，

因为当或时，不一定等于，

而当时，或成立，

所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.

故选：B

【例2-4】（23-24浙江·期中）幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】因为幂函数，在区间上是减函数，

所以，解得：，

因为，得，

当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，

当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，

当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，

所以.故选：A

【变式】

1．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，即，

解得，所以的定义域为，

令，在上递增，在上递减，又，在上递减，

所以在上递减，

所以函数的单调递减区间为，

故选：C

2．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（???）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【解析】因为是幂函数，

所以，解得或，

又在上是减函数，则，即，

所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.

故选：B.

3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（????）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数，

所以函数在上单调递减，

所以，即，解得，

又因为，所以或或，

当或时，，此时为奇函数，不满足题意；

当时，，此时为偶函数，满足题意；

所以.

故选：B

4．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（????）

A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数

C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为

【答案】AC

【解析】，A正确；

当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误；

当时，的定义域为R，且，

所以函数是奇函数，C正确；

当时，的值域为，D错误.

故选：AC

知识点三比较幂值的大小