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4.1指数
知识点一由根式的意义求范围
【
【解题思路】对于eq\r(n,a),当n为偶数时,要注意两点
(1)只有a≥0才有意义.
(2)只要eq\r(n,a)有意义,eq\r(n,a)必不为负.
【例1】(2023高一·江苏·专题练习)若有意义,则a的取值范围是()
A.B.C.D.
【变式】
1.(2024广东湛江)若有意义,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
2.(2024湖北黄冈)已知a∈R,n∈N*,给出四个式子:①;②;③;④,其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)
3.(2023吉林松原·阶段练习)若代数式有意义,则.
知识点二利用根式的性质化简或求值
【
【解题思路】1.正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n
(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义,根据n的奇偶性可知a的范围.
(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数,eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性.
2.有限制条件根式的化简
(1)有限制条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
【例2-1】(23-24高一上·江苏无锡·期中)当有意义时,化简的结果是(????).
A. B. C. D.
【例2-2】(2023高三·全国·专题练习)求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4).
【变式】
1.(23-24高一上·甘肃兰州·期中)(多选)若,化简的结果可能为(????)
A. B. C. D.
2.(2023高一上·全国·专题练习)求使等式成立的实数a的取值范围为.
3.(22-23高一·全国·课堂例题)化简下列各式:
(1);(2);(3);(4);(5).
知识点三根式与分数指数幂的互化
【
【解题思路】根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【例3-1】(22-23高一·全国·课堂例题)求值:
(1);(2);(3);(4).
【例3-2】(2024·上海高一专题练习)将下列根式化成有理数指数幂的形式:
(1)(a0);
(2)(x0);
(3)(b0).
【变式】
1.(24-25高一上·全国·假期作业)下列根式与分数指数幂的互化错误的是(???)
A. B.
C. D.
2.(2023高一·全国·专题练习)(多选)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是(????)
A.() B.()
C.() D.()
3.(2024福建)用有理数指数幂的形式表示下列各式(a0,b0).
(1);(2);(3);(4);(5);(6).
知识点四利用分数指数幂的运算性质化简求值
【
【解题思路】指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于运用指数幂的运算性质.
【例4-1】(22-23高一·全国·随堂练习)化简(式中的字母均为正实数):
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);(8).
【例4-2】(2024高三·全国·专题练习)计算下列各式.
(1);
(2)
(3);
(4);
(5);
(6);
【变式】
1.(23-24高一上·广东广州·期中)计算下列各式:
(1);
(2)
(3);
(4)
(5);
(6).
2.(23-24高一上·广东广州·期中)用分数指数幂表示并计算下列各式(式中字母均正数),写出化简步骤.
(1);
(2)
(3)
(4)??
(5)().
知识点五整体代换法求分数指数幂
【
【解题思路】利用整体代换法求分数指数幂
(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.
【例5】(22-23高一·全国·随堂练习)已知,求下列各式的值:
(1);(2);(3);(4)
【变式】
1.(23-24高一上·江苏连云港
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