专题02 等边三角形常考作辅助线法（两种方法）（解析版）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）.pdf

专题02等边三角形常考作辅助线法（两种方法）

学习了等腰三角形、等边三角形、全等三角形后,发现同学们对知识点的接

受比较单一,不能很快找到各知识点之间的内在联系,更谈不上综合运用。为了把

初中几何中的几个重要的知识点等腰三角形、等边三角形与全等三角形很好的联

系起来，提高同学们的数学思维能力和解题能力，特意设计了本节课，主要探究

添加平行线和截长补短构造全等解决等边三角形有关问题。

【新方法解读】

技巧1：作平行线法

技巧2：截长补短法

【典例分析】

【典例1】（烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，

点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．

【问题解决】

如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；

【类比探究】

如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎

样的数量关系？并说明理由．

【答案】详见解答

【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECH＝60°，

∴△CEH是等边三角形，

∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，

∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

，

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH＝CF，

∴CD＝CH+DH＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由

如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：

∵GD∥AB，

∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，

∴∠GDC＝∠DGC＝60°，

∴△GCD为等边三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，

∵△EDF为等边三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

，

∴△EGD≌△FCD（SAS），

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边

AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，

连接CF．

【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC；

【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；

（2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存

在怎样的数量关系？直接写出你的结论．

【答案】详见解答

【解答】证明：【问题解决】

∵△ABC和△DEF是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF，

∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC，

即∠ABE＝∠CBF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）

∴AE＝CF；

【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECH＝60°，

∴△CEH是等边三角形，

∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°，

∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，

∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

，

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH＝CF，

∴CD＝CH+DH＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

（2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；

理由如下：∵△ABC是