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1.5全称量词与存在量词
知识点一全称量词命题与存在量词命题的辨析
【
【解题思路】判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
【例1】（22-23高一·全国·单元测试）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题．
(1)所有实数都能使成立；
(2)对所有实数，，方程恰有一个解；
(3)存在整数，，使得成立；
(4)存在实数，使得与的倒数之和等于1．
【答案】(1)“所有”是全称量词；，
(2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解
(3)“存在”是存在量词；，，
(4)“存在”是存在量词；，
【解析】（1）“所有”是全称量词；，；
（2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解；
（3）“存在”是存在量词；，，；
（4）“存在”是存在量词；，．
【变式】
1．（2024新疆）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：
（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0.
【答案】（1）全称命题；?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；?一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；?一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；?x∈R，x2≥0.
【解析】（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：?m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；
（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：?一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；
（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：?一个三角形没有外接圆；
（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：?x∈R，x2≥0.
2．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
(1)正方形的四条边相等；
(2)至少有一个正整数是偶数；
(3)正数的平方根不等于0；
(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.
【答案】(1)全称量词命题
(2)存在量词命题
(3)全称量词命题
(4)全称量词命题
【解析】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题；
（2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题；
（3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题；
（4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题.
3．（22-23·江苏·专题练习）用量词符号“”、“”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（1）任意实数都有，；
（2）存在实数，；
（3）存在一对实数、，使成立；
（4）有理数的平方仍为有理数；
（5）实数的平方大于：
（6）有一个实数乘以任意一个实数都等于．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析.
【解析】（1）命题为：，假命题，当时，结论不成立；
（2）命题为：，假命题，
对任意的，；
（3）命题为：、，，真命题，如，，则；
（4）命题为：，，真命题；
（5）命题为：，，假命题，当时，命题不成立；
（6）命题为：，，有，真命题，即满足．
知识点二全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
【
【解题思路】判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．
(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．
【例2】（23-24湖北）用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假.
（1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立；
（2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解；
（3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立；
（4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数.
【答案】（1）?x∈R，x2+x+1＞0；真命题；（2）?a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解；假命题；（3）?x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命题；（4）?x∈Q，x2x
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