第57讲　成对数据的统计分析.docxVIP

第57讲成对数据的统计分析

【备选理由】例1是成对数据的统计相关性判断及应用;例2是线性回归分析问题;例3是非线性回归分析问题;例4是独立性检验与线性回归分析的综合问题.

例1[配例1使用]某中学有学生600人,要求学生在每天上午7:30之前进校,现有一个调查小组调查某天7:00~7:30进校人数的情况,得到如下表格(其中y表示第x分钟内到校的人数,1≤x≤30,x∈N*,如当x=9时,y=4表示第9分钟内,即在7:08~7:09这一分钟内到校的人数为4).

x

1

5

9

15

19

21

24

27

28

29

30

y

1

3

4

5

11

21

36

66

94

101

106

根据调查所得数据,甲同学得到的经验回归方程是y=3.6x-27(对应图中的实线),乙同学得到的经验回归方程是y=0.82e0.16x(对应图中的虚线),则下列结论中错误的是 (C)

A.7:00~7:30内,y与x正相关

B.乙同学的经验回归方程拟合效果更好

C.根据甲同学得到的经验回归方程可知该校当天7:16~7:17这一分钟内的到校人数一定是34

D.该校超过半数的学生都选择在距离规定到校时间的5分钟内到校

[解析]对于A,根据散点图知,7:00~7:30内,y与x正相关,故A中结论正确;对于B,由题中图知,曲线y=0.82e0.16x的拟合效果更好,故乙同学的经验回归方程拟合效果更好,故B中结论正确;对于C,表格中并未给出7:16~7:17这一分钟内到校人数的值,即当x=17时,对应y的值,而由甲的经验回归方程得到的只能是估计值,不一定就是实际值,故C中结论错误;对于D,全校有学生600人,从表格中的数据知,7:26~7:30到校的人数超过300,即该校超过半数的学生都选择在距离规定到校时间的5分钟内到校,故D中结论正确.故选C.

例2[配例2使用][2023·黑龙江哈尔滨九中二模]为调查某地区植被覆盖面积x(单位:公顷)与野生动物数量y的关系,某研究小组将该地区等面积划分为200个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),部分数据如下:

x

…

2.7

3.6

3.2

…

y

…

57.8

64.7

62.6

…

经计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,

(1)利用最小二乘法建立y关于x的经验回归方程.

(2)记y关于x的经验回归直线为l1,该小组又利用这组数据建立了x关于y的经验回归方程,记x关于y的经验回归直线为l2,并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy中,横坐标x,纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.

(i)比较l1与l2的斜率大小,并说明理由;

(ii)求这两条直线的公共点坐标.

附:y关于x的经验回归方程y=a+bx中,b=∑

解:(1)由题意可知x=6020=3,y=120020

b=∑i=120(xi-x)(yi-

故y关于x的经验回归方程为y=8x+36.

(2)设l1,l2的斜率分别为k1,k2,

x关于y的经验回归方程为x=a1+b1y,则b

k1=b=∑

(i)k1k2,理由如下.∵k1k

假设k1=k2,则|r|=1,即yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立,将表格中的一对数据(2.7,57.8)代入上式得57.8≠8×2.7+36,与yi=8xi+36(i=1,2,…,20)恒成立矛盾,故假设不成立,则k1k2.

(ii)根据经验回归直线的求解过程可知两条直线都过点(x,y),又k1k2,

故这两条直线的公共点坐标为(x,y),即(3,60).

例3[配例3使用][2023·山西吕梁三模]数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随着车载音乐的商业化模式进一步完善,市场将持续扩大,下表为2018~2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元),其中年份2018~2022对应的代码分别为1~5.

年份代码x

1

2

3

4

5

车载音乐市场规模y

2.8

3.9

7.3

12.0

17.0

(1)由上表数据知,可用指数函数模型y=a·bx拟合y与x的关系,请建立y关于x的经验回归方程(a,b的值精确到0.1);

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境等因素,某预测公司根据上述数据求得y关于x的经验回归方程后,通过修正,把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率,请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模.

参考数据:

v

∑

e0.524

e0.472

1.94

33.82

1.7

1.6

其中vi=lnyi,v

参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最