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在集合视角下的逻辑教学

s《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下称《新课标》）中的基本理念指出，“高中数学课程应突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法，应该把数学学科核心素养作为一条显性的主线来指导和贯穿数学教学过程”，那么依据这个基本理念，上教版《普通高中教科书数学（2020年版）》（下称《新教材》）相较于上教版《高级中学课本数学（试用本）》（下称《旧教材》）的编写有何变化呢？本文以《新教材》必修一第一章《集合与逻辑》为例进行比较分析.

《旧教材》中“子集与推出关系”的内容是放在“命题”这一节内容的最后，单独作为一节内容呈现，其作用是作为判断充分条件与必要条件的方法；《新教材》则将“子集与推出关系”的内容放在“常用逻辑用语”的第一节内容，作为命题“若，则”为真命题的等价定义，并由此定义得出了推出关系的传递性.

《新教材》这样的处理方式，简洁明了的揭示了集合与命题之间的关系，也突出了“集合的包含关系”这条知识主线.

首先，通过满足满足来定义命题“若，则”为真命题后，我们很自然会想到命题“若，则”为假命题的证明方法，是证明满足满足，即证存在满足，且满足，也就是通过举反例来证明命题为假命题.

其次，《新教材》删去了“命题的形式及等价关系”，这一变动带来的最大的困扰就是在直接证明某个命题困难时，我们没法用证明它的逆否命题来代替原命题了。但其实逆否命题与原命题的等价性也可用集合进行证明：

记满足，满足，则

命题“若，则”为真命题

命题“若，则”为真命题

故在《新教材》用集合语言给出证明题的定义后，我们以往用等价命题来处理的问题，同样也可以用集合的包含关系进行说理.下面，我们以一道具体的例子来进行讲解.

例：“”是“或”的条件.

分析：本题直接看推出关系，是较为困难的。在《新教材》实施之前，我们处理这道题的方式往往都是利用逆否命题，把它等价为“且”是“”的条件.那么我们不妨从集合的包含关系入手，进行分析，即研究与或的包含关系.

解：记，或

则，且

故即

则“”是“或”的充分非必要条件.

最后，《新教材》将“反证法”作为单独的一节进行讲解，替代了原来利用等价命题证明真命题的工具性地位.下面，我们也从集合的包含关系来解析一下“反证法“.

在利用“反证法“证明命题“若，则”为真命题时，我们是通过假设结论不成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明假设不成立，即结论是正确的.

用集合的语言来解释，记满足，满足，

命题“若，则”为真命题

综上所述，我认为新教材的编写是充分符合《新课标》所提的“主线”这一编写要求的，通过“集合的包含关系”这一知识主线，凸显了集合与逻辑用语之间的联系，从而体现了集合作为数学基本语言的应用.

《新课标》对于集合的内容要求中指出，对于集合的学习，“可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验”，这一要求反映出学生学习后的能力表现，我认为这一能力的培养除了习题的练习以外，课堂内的素材也弥足珍贵，通过用集合的视角来进行逻辑教学的本身，就是数学抽象这一核心素养培养的重要素材.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.