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浅谈数学归纳法新课引入案例的选择

在高中数学教学活动中，数学归纳法向来是学生学习的难点，也是教师教学的难点。原因在于，数学归纳法是一种用于解决特定类型的数学问题的特殊方法，其本身很难与学生头脑中既有的知识体系建立一个天然而直接的联系。于是数学归纳法教学的关键在于，如何给教学设计一个比较贴切又比较自然，能够基本接近学生的既有学习经验或生活经验的引例，从而使学生获得对于数学归纳法框架比较直观的感受和体验。

笔者通过翻阅市面上比较常见的高中教辅，以及旁听其他执教教师的教学实践，发现在介绍数学归纳法知识点的时候，经常使用多米诺骨牌作为例子，来引导学生关注具有“一个接着一个地发生”这样一种外在特征的客观现象，由此映照有关自然数的命题由“上一个成立”而推断出“下一个也成立”这一数学归纳法的基本特征，也就是用“上一张牌碰倒下一张牌”的现象，来比照数学归纳法中由“假设时命题成立”而证得“当时命题也成立”的递归证明过程。

应该说，教学实践表明，用多米诺骨牌作为数学归纳法课堂教学的引入，确实具有一定的启发性，它能够与初学数学归纳法基本知识的学生的认知基础形成一种比较适切和有效的匹配。但笔者在推敲这一案例时，感觉还有需要提高的地方：其一，多米诺骨牌实例中常常出现“传递失效”，而这在数学归纳法中是不能接受的。在数学归纳法的递推步骤中，必须保证对任何正整数能够递归得到也成立，然而，在实际生活经验里，推倒多米诺骨牌的过程终止于某一块骨牌还是十分常见的。这种传递失效给学生一种错误的感性认识，即从到是可能出现传递失效的。其二，再壮观的多米诺骨牌也是有限的，但是数学归纳法的本质是无限。数学归纳法要说明的问题是，存在一个“最小的一个起始数”，从它开始“一个接一个、有序地排列”，由归纳奠基与归纳递推构成的“反复递推”得以遍及“之后所有的自然数”，从而实现从有限到无穷的跨越。然而，用多米诺骨牌引数学归纳法，学生在学习的过程中很难体会到“无限”这一重要的数学概念。

结合生活经历和教学实践，笔者发现举“网红喜茶铺排队”的例子，似乎比多米诺骨牌更加合适。具体可以这样描述：

一家生意兴隆的24小时全天候喜茶铺的门前总是排着长长的队伍，面对“神龙见首不见尾”的长队，队伍头上的顾客当然可以买到喜茶，但新来乍到者心里总不免担心能不能排队买到喜茶。每一个新来的顾客都会欣然发现店铺的电子屏上写着：“只要排在你前面的那一位能买到喜茶，你就一定能买到”。于是，那一列望不见排尾的队伍中的所有人，便都紧跟着排在自己面前的那一位慢慢前移，最终他（她）们都买到了自己心仪已久的喜茶。

这是一个源自于生活中的故事，“网红喜茶铺”对于学生都很熟悉，很有生活气息，充满代入感。整个案例的设计都围绕数学归纳法所需展开：首先，队伍头上的顾客当然可以立即买到喜茶，这个“队伍头上的顾客”就是数学归纳法中最小的一个起始数。其次，店招给出了归纳奠基：“只要排在你前面的那一位能买到喜茶，你就一定能买到”，这就是数学归纳法中的归纳递推。再次，“24小时全天候营业”和“神龙见首不见尾”夸张得表达出了无限的效果。最后，“每一个新来的顾客”（数学归纳法中的），都紧跟着“排在自己面前的那一位”（数学归纳法中的），按照店招的归纳递推，“最终都买到了自己心仪已久的喜茶”，排除了“传递失效”的潜意识。

课堂引入力图以形象生动、风趣幽默的教学语言，形神兼备、声情并茂的现代化教学手段，呈现感性、形象、新颖的教学素材，创设出生动逼真的教学情境，使学生在最短的时间内，迅速地以全身心融入课堂教学中来。“只要排在你前面的那一位能买到喜茶，你就一定能买到”的店招设计，本身就是一个很有数学逻辑特色的宣传方式，让课堂充满轻松的学习氛围。通过分析一个案例，可以步步引出各个教学知识点，让学生有代入感地将抽象的数学逻辑与生活经验形成有效连接。学生更容易主动地吸收知识，事半功倍地实现教学目的。课堂引入的启发性还在于，引导学生学会观察生活，发现生活中的数学知识、数学规律以及数学逻辑，避免将数学抽象化，进一步拉近数学与学生的距离。