新高考数学一轮复习讲与练第07讲 一元函数的导数及其应用（讲）（解析版）.doc

第1讲一元函数的导数及其应用（一）

本讲为重要知识点，也是高中的难点。题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。

考点一导数的概念及运算

1．导数的概念

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率SKIPIF10为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′SKIPIF10即f′?x0?＝SKIPIF10.

称函数f′(x)＝SKIPIF10为f(x)的导函数．

2．导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos_x

f(x)＝ex

f′(x)＝SKIPIF10

f(x)＝lnx

f′(x)＝SKIPIF10

f(x)＝xα(α∈Q*)

f′(x)＝αxα－1

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a0，a≠1)

f′(x)＝axln_a

f(x)＝logax(a0，a≠1)

f′(x)＝SKIPIF10

4.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)SKIPIF10(g(x)≠0)．

5.常用结论

1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.

2.SKIPIF10′＝－SKIPIF10.

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.

4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.

考点二利用导数研究函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，

(1)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；

(2)若f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；

(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．

讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.

2.常用结论汇总——规律多一点

(1)在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．

考点三利用导数解决函数的极值最值

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

①函数f?x?在x0处有极值的必要不充分条件是f′?x0?＝0，极值点是f′?x?＝0的根，但f′?x?＝0的根不都是极值点?例如f?x?＝x3，f′?0?＝0，但x＝0不是极值点?.

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减