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高中数学：函数对称性有关的性质

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数

图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。

下文中我们均简称为函数的变换性。现通过函数自身的对称性和不同

函数之间的对称变换这两个方面来介绍函数对称性有关的性质。

1.函数自身的对称性设函数

，，且在闭区间［0，7］上只有（1）

试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间［－

2005，2005］上根的个数并证明你的结论。分析：由

可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得

到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，

因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。定理1函数的图

像关于直线x＝a对称的充要条件是即

证明（略）推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是

定理2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条

件是证明（略）推论函数的图像关于原点

O对称的充要条件是偶函数、奇函数分别是定理1，定

理2的特例。定理3①若函数的图像同时关于点A（a，c）和

点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且

是其一个周期。②若函数的图像同时关于直线

成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。

③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x

＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周

期。以下给出③的证明，①②的证明留给读者。因为函数的图

像关于点A（a，c）成中心对称。所以

代得：

又因为函数的图像关于直线成轴对称。所以

代入（*）得：

得

代入（**）得：

是周期函数，且是其一个周期。

2.不同函数对称性定理4函数

的图像关于点成中心对称。证明：设点图

像上任一点，则。点关于点的对称点为

，此点坐标满足，显然点

在的图像上。同理可证：

图像上关于点对称的点也在的图像上。

推论函数与的图像关于原点成中心对称。定理5函

数与的图像关于直线成轴对称。证明设点

是