新高考数学一轮复习讲与练第20讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（讲）（解析版）.doc

第03讲直线、平面平行与垂直的判定与性质

本讲为高考命题热点，常出现在大题的第一问，分值约为6分，文科常考察平行，理科常考察垂直，相对来说较为固定，考察逻辑推理能力，空间想象能力。

考点一直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.

(2)判定定理与性质定理

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判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面

a?α，b?α，a∥b?a∥α

性质定理

一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b

考点二平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

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判定定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β

性质定理

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

α∥β，a?α?a∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

考点三直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

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判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α

性质定理

两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b

考点四直线与平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

考点五二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

考点六直线与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

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判定定理

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

考点七常用结论

1.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

2.三种平行关系的转化

3.三个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

4.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

5.三种垂直关系的转化

高频考点一直线与平面平行的判定

【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求点C到平面C1DE的距离.

(1)证明如图，连接B1C，ME.

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.

又因为N为A1D的中点，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.

由题设知A1B1綉DC，

可得B1C綉A1D，故ME綉ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，

所以MN∥ED.

又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.

由已知可得DE⊥BC，DE⊥