新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第18讲 利用导数研究函数的单调性（原卷版）.doc

第18讲利用导数研究函数的单调性

【基础知识全通关】

一、函数的单调性与导数的关系

我们知道，如果函数SKIPIF10在某个区间是增函数或减函数，那么就说SKIPIF10在这一区间具有单调性，先看下面的例子：

函数SKIPIF10的图象如图所示。考虑到曲线SKIPIF10的切线的斜率就是函数SKIPIF10的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即SKIPIF10时，SKIPIF10为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即SKIPIF10时，SKIPIF10为减函数。

导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数SKIPIF10在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若SKIPIF10，则SKIPIF10在这个区间上为增函数；

②若SKIPIF10，则SKIPIF10在这个区间上为减函数；

③若恒有SKIPIF10，则SKIPIF10在这一区间上为常函数.

反之，若SKIPIF10在某区间上单调递增，则在该区间上有SKIPIF10恒成立（但不恒等于0）；若SKIPIF10在某区间上单调递减，则在该区间上有SKIPIF10恒成立（但不恒等于0）．

【微点拨】

1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上SKIPIF10，即切线斜率为正时，函数SKIPIF10在这个区间上为增函数；当在某区间上SKIPIF10，即切线斜率为负时，函数SKIPIF10在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2.若在某区间上有有限个点使SKIPIF10，在其余点恒有SKIPIF10，则SKIPIF10仍为增函数（减函数的情形完全类似）。

即在某区间上，SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10在这个区间上为增函数；

SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10在这个区间上为减函数，但反之不成立。

3.SKIPIF10在某区间上为增函数SKIPIF10在该区间SKIPIF10；

SKIPIF10在某区间上为减函数SKIPIF10在该区间SKIPIF10。

在区间(a,b)内，SKIPIF10（或SKIPIF10）是SKIPIF10在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！

例如：SKIPIF10而f(x)在R上递增.

4.只有在某区间内恒有SKIPIF10，这个函数SKIPIF10在这个区间上才为常数函数.

5.注意导函数图象与原函数图象间关系.

二、利用导数研究函数的单调性

利用导数判断函数单调性的基本方法

设函数SKIPIF10在区间（a，b）内可导，

（1）如果恒有SKIPIF10，则函数SKIPIF10在（a，b）内为增函数；

（2）如果恒有SKIPIF10，则函数SKIPIF10在（a，b）内为减函数；

（3）如果恒有SKIPIF10，则函数SKIPIF10在（a，b）内为常数函数。

【微点拨】

（1）若函数SKIPIF10在区间（a，b）内单调递增，则SKIPIF10，若函数SKIPIF10在（a，b）内单调递减，则SKIPIF10。

（2）SKIPIF10