新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第19讲 利用导数研究函数的极值和最值（解析版）.doc

利用导数研究函数的极值和最值

【基础知识网络图】

函数极值点条件函数的极值

函数极值点条件

函数的极值

求函数极值函数的极值和最值

求函数极值

函数的极值和最值

函数在闭区间上的最大值和最小值

函数在闭区间上的最大值和最小值

【基础知识全通关】

1.函数的极值

函数的极值的定义

一般地，设函数SKIPIF10在点SKIPIF10及其附近有定义，

（1）若对于SKIPIF10附近的所有点，都有SKIPIF10，则SKIPIF10是函数SKIPIF10的一个极大值，记作SKIPIF10；

（2）若对SKIPIF10附近的所有点，都有SKIPIF10，则SKIPIF10是函数SKIPIF10的一个极小值，记作SKIPIF10.

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

2、求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数SKIPIF10；

③求方程SKIPIF10的根；

④检查SKIPIF10在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

3、函数的最值

1.函数的最大值与最小值定理

若函数SKIPIF10在闭区间SKIPIF10上连续，则SKIPIF10在SKIPIF10上必有最大值和最小值；在开区间SKIPIF10内连续的函数SKIPIF10不一定有最大值与最小值.如SKIPIF10.

注意：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：

若函数SKIPIF10在闭区间SKIPIF10有定义，在开区间SKIPIF10内有导数，则求函数SKIPIF10在SKIPIF10上的最大值和最小值的步骤如下：

（1）求函数SKIPIF10在SKIPIF10内的导数SKIPIF10；

（2）求方程SKIPIF10在SKIPIF10内的根；

（3）求在SKIPIF10内使SKIPIF10的所有点的函数值和SKIPIF10在闭区间端点处的函数值SKIPIF10，SKIPIF10；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数SKIPIF10在闭区间SKIPIF10上的最大值，最小者为函数SKIPIF10在闭区间SKIPIF10上的最小值.

【考点研习一点通】

考点01利用倒数解决函数的极值等问题

1.已知函数SKIPIF10若函数SKIPIF10处取得极值，试求SKIPIF10的值，并求SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线方程；

【解析】SKIPIF10

因为SKIPIF10处取得极值

所以SKIPIF10

所以SKIPIF10。

又SKIPIF10

所以SKIPIF10在点SKIPIF10处的切线方程SKIPIF10

即SKIPIF10.

【变式1-1】设SKIPIF10为实数，函数SKIPIF10．

(1)求SKIPIF10的单调区间与极值；

(2)求证：当SKIPIF10且SKIPIF10时，SKIPIF10．

【解析】（1）由SKIPIF10知SKIPIF10．

令SKIPIF10，得SKIPIF10．于是当SKIPIF10变化