离散数学概论习题答案第3章.pdfVIP

第二部分集合、矩阵、关系和函数

集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。集合包括最基本的数学概念，例

如集合，元素和成员关系。在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学

对象的语言。集合可用来表示数其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间

关系的描述等。集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。同时，函数和

关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。接下来，我们将在两个

单独的章节中介绍它们。集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中

介绍。

第三章集合和矩阵

3.1集合

3.1.1集合概念

集合没有确定的概念。一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组

成的总体叫做集合，也简称集。

通常用大写英文字母表示集合。例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集

合，R代表是实数集合。用小写英文字母表示集合内元素。若元素a是集合A的一

个元素，则表示为aA，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元

aA。

素，则表示为，读作a不属于集合A

集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。

定义：有限个元素构成的集合为有限集合。其中集合包含元素的个数称为集

3-1

合的基，记作A。无限个元素构成的集合为无限集合。

表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分介绍。

1.列举法

当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花

括号把所有元素括起来。这种表述方式为列举法。例如：

S={a,b,c,d,e,f}，S={a,b,b,c,d,e,f}，S={d,e,a,b,c,f}

123

上述三个集合S、S和S是相同集合，尽管有重复元素。且集合元素之间没有

123

序关系。

一个集合可以作为另个集合的元素。例如，

S={a,b,{c,d,e,f}}

1

集合S包含元素a,b和{c,d,e,f}。因为{c,d,e,f}是集合S中的元素，故可记

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为：cdefA。

,,,

1

以上给出的集合实例都是有限集合。当集合是无限集合时，无法列出集合的所

有元素，可先列出一部分元素，若剩元素与已给出元素存在一定规律，那剩元

+

素的一般形式很明显可用省略号表示。如N={1,2,3,…},C={2,4,6,2n…},Z={1,2,

3,…}。

2.描述法

当集合中元素具有相同性质或满足相同条件时，可以用描述法表示集合中元素，

不用全部列出集合中所有元素。具有相同性质或满足相同条件可用一阶逻辑中的谓

词公式表示：

A{xP(x)}



上式表示集合A是由具有某种性质P的元素x构成。例如，

A{xx}。

是离散数学期末成绩为优秀的学生

集合元素的特征如下：

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的

元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对

象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性：一般不考虑元