大招4张角定理.docx

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大招4??张角定理

1．张角定理

在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有．

证明因为，所以，于是等式两边同除以得．

2．张角定理与角平分线长

特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了．

注：张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下．

【典例1】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC，AB，AD=3，则CD是多少？

【大招指引】

先利用同角三角函数基本关系求出cos∠BAC，再利用张角定理进行求解.

【解析】如图：

∵sin∠BAC

∴cos∠BAC

由张角定理得：

即

即

即

解得

∴

【题后反思】因为本题条件中出现，所以联想到张角定理得到

使用张角定理得到，这是解决本题的关键.

【温馨提醒】张角定理的本质是通过三角形面积公式构建三角方程，如本题中利用得到．

【举一反三】

1．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为多少？

【典例2】如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM，，则cos∠BCM的值为多少？

【大招指引】先利用正弦定理和解直角三角形得到，再利用角平分线张角定理进行求解.

【解析】∵

∴由正弦定理得：

即

即

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴在Rt△BCM中，

∵由角平分线张角定理得：

即

∴或（舍）

【题后反思】本题也可以利用如下思路进行求解：因为，，

所以利用张角定理得到，

即，

即，

解得.

【温馨提醒】如果，，是已知的，使用张角定理可以得到，满足的三角方程．

【举一反三】

2．的内角的对边分别为，角的平分线交于点．，，则，的面积为．

3．已知在中，，，角的平分线，则（????）

A． B． C． D．

4．已知AD是的角平分线，，，，则.

5．在中，内角的对边分别为，满足为的角平分线，且，则.

6．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．

7．中，内角A、B、C的对边分别为、b、c，∠ABC，BD平分交AC于点D，，则的面积的最小值为多少？

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参考答案：

1．

【分析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】如图：

∵是的角平分线，，

∴，

由张角定理得：，

即，

∵，

∴，

∴，

∴，

当且仅当，即时取“=”，

2．

【分析】先根据正弦定理以及三角形内角关系化简条件即得，解得；

再利用正弦定理解得，，利用列方程，解得角，最后根据三角形面积公式求结果.

【详解】

??

由正弦定理可知：

，∴，，同理，

，

，化简可得：，

∴或（舍），

∴，或，

∴或

．

故答案为：????;

【点睛】本题考查利用正弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

3．C

【分析】先在中，利用正弦定理得到，进而得到，从而得到，然后在中，利用正弦定理求解.

【详解】在中，由正弦定理得

，所以，

因为，

所以，，

，

在中，由正弦定理得：，

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．##

【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解.

【详解】设，

则由张角定理可得：，

故，即有，

所以，则，

又因，，

所以.

5．6

【解析】根据题意先求出的三角函数值，在中，已知两边夹一角，可以利用余弦定理求出，再求出的三角函数值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.

【详解】记，因为，所以，，

在中，由余弦定理，，代入数据，解得，

，

，所以，，

在中，，

由正弦定理，，即，解得，，即.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生对三角形中角和边关系的分析能力，同时还考查学生的计算能力，属于中档题.

6．9

【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．

【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式

由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，

因此

当且仅当