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考研数学二分类模拟题36

一、填空题

1.?设线性相关，则a=______．

正确答案：

[解析]α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是，从而

?

2.?设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+2α2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=______。

正确答案：

5

[解析]

??因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2，4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以，即解得a=5．

?

3.?设，且α，β，γ两两正交，则a=______，b=______．

正确答案：

-4?-13

[解析]因为α，β，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．

?

4.?设A=(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX=0的通解为X=k(1，1，2，-3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为______．

正确答案：

α2=-α1-2α3+3α4

[解析]因为(1，1，2，-3)T为AX=0的解，

??所以α1+α2+2α3-3α4=0，故α2=-α1-2α3+3α4．

?

二、选择题

1.?若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则______．

A.α2可由α2，α3线性表示

B.α4可由α1，α2，α3线性表示

C.α4可由α1，α3线性表示

D.α4可由α1，α2线性表示

正确答案：A

[解析]因为α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选A．

?

2.?设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组______．

A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关

B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关

C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关

D.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关

正确答案：C

[解析]因为-(α1+α2)+(α2+α3)-(α3+α4)+(α4+α1)=0，

??所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关；

??因为(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，

??所以α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性相关；

??因为(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，

??所以α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关，选C．

?

3.?向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是______．

A.向量组α1，α2，…，αm，β线性无关

B.存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0

C.向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数

D.向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关

正确答案：D

[解析]A不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；

??B．不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证k1，k2，…，km线性无关；

??C．不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如线性无关，但其维数等于其个数，选D．

?

4.?设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则______．

A.α1，α2，…，αm-1，β1线性相关

B.α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关

C.α1，α2，…，αm，β1+β2线性相关

D.α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关

正确答案：D

[解析]A不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关；

??B不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关；

??C不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关