2.3直线的交点坐标与距离公式（八个重难点突破）（解析版）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）.docx

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2.3直线的交点坐标与距离公式

一、直线的交点坐标问题

五、直线围成的图形问题

二、经过两直线交点的直线方程

六、两条平行直线的距离

三、两点间距离公式的应用

七、对称问题

四、点到直线的距离公式应用

八、距离的最值问题

知识点1两条直线的交点坐标

1．两条直线的交点坐标

已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．

2．方程组解的组数与两条直线的位置关系

方程组的解

一组

无数组

无解

直线与的位置关系

相交

重合

平行

重难点一直线的交点坐标问题

【例1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：

(1)，；

(2)，；

(3)，；

(4)，．

【答案】(1)

(2)相交，交点为

(3)

(4)重合

【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，．

因为，，，，所以．

（2）因为，，，所以与相交．

，解得，所以交点为.

（3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以．

（4），因为，，所以与重合．

【例2】两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（）

A．(,) B．(,0)

C．(0,) D．()

【答案】C

【详解】由解得即两条直线的交点为，

由交点在第二象限，得,解得.

故选：C.

【变式1-1】已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（????）

A．20 B． C．0 D．24

【答案】B

【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．

又两直线垂直，则，解得．

，即，

将交点代入直线的方程中，得．

将交点代入直线的方程中，得．

所以，．

故选：B．

【变式1-2】若直线与直线的交点在直线上，则k的值为．

【答案】/

【详解】因为直线与直线相交，则，则且，

由，解得，

即直线与直线的交点坐标为，

将点的坐标代入，得，

即，即，因为，解得.

故答案为：.

【变式1-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，

所以两直线的交点坐标为.

因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，

设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.

法二：由题意，直线l过定点，

设直线与x轴、y轴的交点分别为.

如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，

??

∴的倾斜角为，的倾斜角为.

∴直线l的倾斜角的取值范围是.

故选：D

重难点二经过两直线交点的直线方程

【例3】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【详解】联立方程，解得，

所以直线和的交点为，

由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，

可知所求直线方程为，

令，可得；令，可得；

可知直线在x，y轴上的截距分别为，，

由题意可得，整理得，解得或，

所以所求直线方程为或.

故选：C.

【例4】已知直线l经过直线与的交点P．

(1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程；

(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或

【详解】（1）联立可得，，所以点.

由已知可设直线l的方程为，

代入点坐标有，解得，

所以，直线l的方程为.

（2）当直线过原点时，设方程为，

代入点坐标有，解得，

所以直线l的方程为，整理可得；

当直线不过原点时，设方程为，

代入点坐标有，解得，

所以，直线l的方程为.

综上所述，直线l的方程为或.

【变式2-1】经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为.

【答案】或

【详解】联立，解得，

所以直线与的交点坐标为，

由已知所求直线的斜率存在且不为，

故可设所求直线方程为，其中，

令，可得，即所求直线在轴上的截距为，

令，可得，即所求直线在轴上的截距为，

由已知可得，

所以，

所以或，

所以所求直线方程为或.

故答案为：或.

【变式2-2】已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为，过交点并且垂直于直线的直线方程为．

【答案】

【详解】方法1：由方程组解得

即交点为．因为所求直线与直线垂直，

所以所求直线的斜率为．

由点斜式得所求直线方程为，即；

方法2：由垂直关系可设所求直线方程为．

由方程组可解得交点为，

代入得，故所求直线方程为；

方法3：由题意可设所求直线的方程为，

即①，

又因为所求直线与直线垂直，

所以，解得，

代入①式得所求直线方程为．

故答案为：；.

【变式2-3】已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且．

(1)求