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考研数学二模拟396

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1.?若f(x)为定义在(0，+∞)上的正函数，在区间(0，+∞)上单调递减，则有______

A.f(a+b)＞f(a)+f(b)．

B.f(a+b)＜f(a)+f(b)．

C.f(x)在(0，+∞)单调递减．

D.f(x)在(0，+∞)单调递增．

正确答案：B

[解析]在(0，+∞)上单调递减，又f(x)，a，b均为正数，则

??

?

2.?若f(x)是实数集上二阶可导的奇函数，在(-∞，0)内f(x)＞0，且f(x)＜0，则在(0，+∞)内必有______

A.f(x)＞0，f(x)＞0．

B.f(x)＞0，f(x)＜0．

C.f(x)＜0，f(x)＞0．

D.f(x)＜0，f(x)＞0．

正确答案：A

[解析]f(x)是奇函数，则f(0)=0，f(x)是偶函数，f(x)是奇函数．

??所以，由在(-∞，0)内f(x)＞0，f(x)＜0，得出在(0，+∞)内

??f(x)=f(-x)＞0，f(x)=-f(-x)＞0．

?

3.?函数f(x)在[0，+∞)上连续，并满足条件则______

??A．

??B．

??C．A为正数．

??D．可能存在，也可能不存在．

正确答案：B

[解析]由已知得

??

??其中0＜ξ1，ξ2＜x．

??类似地推导下去，可得

??0≤f(x)≤xnf(ξn)，0＜ξ1，ξ2，…，ξn＜x，n=1，2，…．

??由此可知，当x∈[0，1)时，f(x)≡0．由连续性可得

??类似可推出，当x∈[1，2)时，f(x)≡0，如此类推，可知当x∈[0，+∞)时，f(x)≡0．

??因此有

?

4.?设f(x)是奇函数，则f(x)在x=0处______

A.不连续

B.连续，左、右两侧导数都不存在．

C.连续，右导数存在，但左导数不存在．

D.可导．

正确答案：D

[解析]令t=e1-cosx-1，当x→0时，t→0+，f(0)=0．

??因为所以

??由于所以f(x)在x=0处右连续．

??由于f(x)是奇函数，也有因此f(x)在x=0处连续．

??又

??

??所以f(0)=2，f(x)在x=0处可导．

?

5.?f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，f(x)＜0，则f(x)在(-∞，0)内______

A.单调增加且大于零．

B.单调增加且小于零．

C.单调减少且大于零．

D.单调减少且小于零．

正确答案：B

[解析]由得f(0)=0，f(0)=1．

??因为f(x)＜0，所以f(x)单调减少，在(-∞，0)内f(x)＞f(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)内为单调增函数．

??又f(0)=0，在(-∞，0)内f(x)＜f(0)=0，故f(x)在(-∞，0)内单调增加且小于零．

?

6.?设f(x)为连续函数，f(2)=2，则F(2)等于______

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

正确答案：C

[解析]

??

?

7.?已知三阶实矩阵A=(aij)3×3满足条件：①|A|=1，②a33=-1，③aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则方程组的解是______

??A．

??B．

??C．

??D．

正确答案：C

[解析]思路一：|A|按第3行展开，利用a33=-1=A33，且|A|=1，得

??

??则

??因为|A|=1，由得

??其中

??

??所以

??

??思路二：因为aij=Aij，i，j=1，2，3，所以A*=AT，又|A|=1，可得

??A-1=AT，AAT=E，

??即A为三阶正交矩阵，则方程的解为A-1的第三列，即A的第三行，即

??因A为正交矩阵，则x是单位向量，已知a33=-1，则有a31=a32=0，故

??

?

8.?向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，且可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表出，则下列说法正确的是??______

A.若向量组(Ⅱ)线性无关，则r=s．

B.若向量组(Ⅱ)线性相关，则r≤s．

C.不论怎样，都有r＜s．

D.不论怎样，都有r≤s．

正确答案：D

[解析]向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则

??r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

??因为向量组(Ⅰ)线性无关，所以有r(α1，α2，…，αr)=r．故r≤s，与(Ⅱ)是否线性相关无关，故C不正确．

??若向量组(Ⅱ)线性无关，则有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)=s，但不能推出r=s，所以