上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷（含简单答案）.docxVIP

上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试

数学试卷

（时间120分钟，满分150分）

一.填空题（本大题共12小题，满分54分.1-6小题每题4分，7-12小题每题5分）

1.抛物线的焦点坐标是______.

2.若向量与平行，则实数的值为_____________.

3.的二项展开式中的系数为_____________.

4.若一个球的表面积为，则该球的体积为_____________.（结果中保留）

5.设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为_____________.

6.若任取正方体的12条棱中的一条棱，则这条棱所在直线平行于平面的概率为_____________.

7.为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.若在区间中的频数为30，则的值是_________.

8.已知事件和事件互斥，若且，则_____________.

9.直线被圆所截得的弦长为_________.

10.学习小组有五位同学，他们历次考试成绩比较稳定，成绩方差值均为6左右.某次质量监测考试中同学甲没有参加，其余四位同学的成绩分别为81分、84分、87分、88分.假设同学甲也参加本次质量监测，用6作为这五位同学本次考试成绩的方差来估算同学甲的分数（可设为），则这个分数为_________________.

11.已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为_________.

12.已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是_____________.

二.选择题（本大题共4小题，满分18分.13-14小题每题4分，15-16小题每题5分）

13.已知两条直线和，以下说法正确的是（）.

A. B.与重合

C. D.与的夹角为

14.某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（）

A.12 B.16 C.20 D.32

15.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则“”的充分条件是（）.

A.，， B.，，

C.，， D.，，

16.已知，，若和是函数的两个不同的极值点，则的取值范围内的整数是（）.

A. B. C. D.

三.解答题（本大题满分78分）

17.已知.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在上的最大值与最小值.

18.如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点.

（1）求异面直线与所成角大小；

（2）若圆柱侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小.

19.某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.

花费时间（分钟）

时间等级

一级

二级

三级

（1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数；

（2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数；

（3）现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率.

20.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点是棱上的动点，.

（1）当时，证明：直线平面；

（2）若二面角的大小等于，求的值；

（3）记三棱锥的体积为，试将表示为的函数.

21.某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成，曲线和曲线交于点，.如图1所示建立平面直角坐标系，曲线所对应的方程为，，曲线所对应的方程为，.

（1）求值及曲线所在椭圆的离心率的值；

（2）现要在平安锁上找一个点作为装饰孔，要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点（如图2所示），满足，求实数的值；

（3）商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁，要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切（如图3所示），求该菱形的面积.

上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试

数学试卷简要答案

一.填空题（本大题共12小题，满分54分.1-6小题每题4分，7-1