2023-2024学年广东省深圳市北京师大南山附中高二（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年广东省深圳市北京师大南山附中高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1．已知直线l1的方向向量m→=(1，0，1)，直线l2的方向向量n→

A．π6 B．π3 C．π4

2．若直线l1：2x+（m+1）y+4＝0与直线l2：mx+3y﹣2＝0平行，则m的值为（）

A．2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3

3．已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，过点A（﹣2，﹣1）向圆C作切线，切点为B，则|AB|＝（）

A．14 B．10 C．6 D．3

4．如图，在斜棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，AB→=a→，AD→

A．12a→+12b→+c→

5．若点P（1，﹣1）在圆C：x2+y2﹣x+y+m＝0的外部，则实数m的取值范围是（）

A．m＞0 B．m＜12 C．0＜m＜12 D．

6．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（）

A．54 B．52 C．22

7．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且D1F→=λD1C1→，若B

A．14 B．13 C．12

8．点（x，y）在曲线y=4-x2-2上，则|3x﹣

A．[25，185] B．[2，18] C．[1

二、多选题（每题5分，共20分，错选不得分，漏选得2分）

9．下面四个结论正确的是（）

A．若三个非零空间向量a→，b→，

B．若空间四个点P，A，B，C，PC→=14PA→+3

C．已知{a→，b→，

D．已知向量a→=(1，1，x)，

10．已知直线l：y＝kx+k+1，下列说法正确的是（）

A．直线l过定点（﹣1，1）

B．当k＝1时，l关于x轴的对称直线为x+y+2＝0

C．点P（3，﹣1）到直线l的最大距离为25

D．直线l一定经过第四象限

11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是（）

A．A1C⊥平面EFG

B．C到平面EFG的距离为3

C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是32

D．平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为3

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2＝1，点P为直线l：x﹣y﹣2＝0上的动点，则（）

A．圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为14

B．圆C与曲线：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝9

C．过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°

D．过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点(

三、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13．已知直线l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为(1，12，2)，且l∥α，则m

14．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，圆C的弦AB被点P（2，0）平分，则弦AB所在的直线方程是．

15．已知点P（1，2，3）是空间直角坐标系O﹣xyz内一点，则点P关于x轴的对称点Q的坐标为，若点P在平面xOy上的射影为M，则四面体O﹣PQM的体积为．

16．已知点P（﹣3，0）在动直线mx+ny﹣（m+3n）＝0上的投影为点M，若点N(2，32)，则|MN|的最大值为

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．

18．（12分）已知直线l过点P（4，1）且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B．

（1）当△OAB面积为8时（O为坐标原点），求直线l的方程；

（2）求直线l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程．

19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：AE⊥PD；

（2）若PA＝2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．

20．（12分）已知{e1→，e2→，e3→}为空间的一个基底，且OP→=2e1→-e2→+

（1）能否以{OA→，OB→，OC→}

（2）判断P，A，B，C四点是否共面．

21．（12分）已知圆C：x2+y2﹣Dx﹣Ey﹣4＝0关于直线y＝x+1对称，且（4，2）在圆上．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若直线l：（m+1）x﹣（2m+1）y﹣m﹣2＝0与圆C交于点A，B，求△ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程．

22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，A